Infinitésimos

Una función $f(x)$ es un infinitésimo para $x=a$ si $f(x)$ tiende a 0 cuando $x$ tiende a $a$: $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$$

IMPORTANTE: La suma, diferencia y producto de infinitésimos para $x=a$ es un infinitésimo para $x=a$. El producto de un infinitésimo para $x=a$ por una función acotada en un entorno del punto $a$ es un infinitésimo para $x=a$.

Orden de infinitésimos

Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos infinitésimos para $x=a$. Se dice que

• son del mismo orden si $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$$ con $\lambda\neq 0$ y $\lambda\neq \infty$. Este hecho se denota por $f(x)=O(g(x))$ ;

• son equivalentes para $x=a$ si

$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$

• $f(x)$ es de orden superior a $g(x)$ para $x=a$ si

$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$ Esto se denota por $f(x)=o(g(x))$;

• $f(x)$ es un infinitésimo de orden $p$ para $x=a$ si $f(x)=O((x-a)^p)$.

Parte principal de un infinitésimo

Observa que si $f(x)$ es un infinitésimo de orden $p$ para $x=a$ $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{(x-a)^p}=\lambda \ \ \mbox{con} \ \ \lambda\neq 0,\ \lambda\neq \infty$$ y que por tanto $$f(x)-\lambda(x-a)^p=o((x-a)^p) \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f(x)=\lambda(x-a)^p+o((x-a)^p)$$ Al factor $\lambda(x-a)^p$ se le llama parte principal de $f(x)$ en $x=a$.

IMPORTANTE: Un infinitésimo es equivalente a su parte principal. Si en una función se sustituye un infinitésimo en $x=a$, que sea factor o divisor, por su parte principal u otro infinitésimo equivalente en $x=a$, el valor del límite de esa función en $x=a$ no se ve alterado.

Para determinar el orden y la parte principal de un infinitésimo se puede utilizar la fórmula de Taylor.