Eso está muy mal derivado, pues $f$ y $g$ son funciones de una variable, no se hacen sus parciales. Elige de nuevo

Eso está muy mal derivado, pues $f$ y $g$ son funciones de una variable, no se hacen sus parciales, y además en el último sumando faltaría la derivada de $\frac{y}{x}$. Elige de nuevo

En efecto, ninguna de las propuestas es correcta. Las funciones $f$ y $g$ lo son de una sóla variable, no las podemos derivar parcialmente respecto de $x$ ni respecto de $y$: $$z'_x(x,y)=yf'(xy)+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}g\left(\frac{y}{x}\right)+\sqrt{xy}\left(-\frac{y}{x^2}\right)g'\left(\frac{y}{x}\right)$$ o bien $$z'_x(x,y)=yf'(xy)+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}g\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{y}{x}\sqrt{\frac{y}{x}}g'\left(\frac{y}{x}\right)$$ Continuar

$$z''_{xx}(x,y)=y^2f''(xy)-\frac{1}{4x}\sqrt{\frac{y}{x}}g\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}\left(-\frac{y}{x^2}\right)g'\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{3y}{2x^2}\sqrt{\frac{y}{x}}g'\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{y}{x}\sqrt{\frac{y}{x}}\left(-\frac{y}{x^2}\right)g''\left(\frac{y}{x}\right)$$ o bien $$z''_{xx}(x,y)=y^2f''(xy)-\frac{1}{4x}\sqrt{\frac{y}{x}}g\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{y}{x^2}\sqrt{\frac{y}{x}}g'\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{y^2}{x^3}\sqrt{\frac{y}{x}}g''\left(\frac{y}{x}\right)$$ Continuar

No es correcto porque está mal el último sumando. Elige de nuevo

Muy mal derivado. Elige de nuevo

Sí hay una correcta. Elige de nuevo

En efecto, ésa es la derivada primera de $z$ respecto de $y$. Continuar

$$z''_{yy}(x,y)=x^2f''(xy)-\frac{1}{4y}\sqrt{\frac{x}{y}}g\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{2x}\sqrt{\frac{x}{y}}g'\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{2\sqrt{xy}}g'\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{x}\sqrt{\frac{y}{x}}g''\left(\frac{y}{x}\right)$$ o bien $$z''_{yy}(x,y)=x^2f''(xy)-\frac{1}{4y}\sqrt{\frac{x}{y}}g\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{xy}}g'\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{x}\sqrt{\frac{y}{x}}g''\left(\frac{y}{x}\right)$$ Observamos que tanto $z''_{xx}$ como $z''_{yy}$ están compuestos por cuatro sumandos, uno con la función $f''(xy)$, otro con $g\left(\frac{y}{x}\right)$, otro con $g'\left(\frac{y}{x}\right)$ y el último con $g''\left(\frac{y}{x}\right)$; recogemos en la siguiente tabla los coeficientes de estas funciones en $z''_{xx}$ y $z''_{yy}$:

los coeficientes de	$$f''(xy)$$	$$g\left(\frac{y}{x}\right)$$	$$g'\left(\frac{y}{x}\right)$$	$$g''\left(\frac{y}{x}\right)$$
en $z''_{xx}$ son	$$y^2$$	$$-\frac{1}{4x}\sqrt{\frac{y}{x}}$$	$$\frac{y}{x^2}\sqrt{\frac{y}{x}}$$	$$\frac{y^2}{x^3}\sqrt{\frac{y}{x}}$$
en $z''_{yy}$ son	$$x^2$$	$$-\frac{1}{4y}\sqrt{\frac{x}{y}}$$	$$\frac{1}{\sqrt{xy}}$$	$$\frac{1}{x}\sqrt{\frac{y}{x}}$$

Si multiplicamos los coeficientes en $z''_{xx}$ por $x^2$ y los de $z''_{yy}$ por $y^2$, tendremos

los coeficientes de	$$f''(xy)$$	$$g\left(\frac{y}{x}\right)$$	$$g'\left(\frac{y}{x}\right)$$	$$g''\left(\frac{y}{x}\right)$$
en $x^2z''_{xx}$ son	$$x^2y^2$$	$$-\frac{x}{4}\sqrt{\frac{y}{x}}$$	$$y\sqrt{\frac{y}{x}}$$	$$\frac{y^2}{x}\sqrt{\frac{y}{x}}$$
en $y^2z''_{yy}$ son	$$y^2x^2$$	$$-\frac{y}{4}\sqrt{\frac{x}{y}}$$	$$y^2\frac{1}{\sqrt{xy}}$$	$$\frac{y^2}{x}\sqrt{\frac{y}{x}}$$

esto es, $z(x,y)$ verifica que $$x^2z''_{xx}=y^2z''_{yy}$$ Continuar

$$z(x,y)=\mbox{sen}(4x^2y^2)+\sqrt{xy}e^{\frac{y}{x}}$$ La representaremos en el rectángulo $[1,2]x[0,1]$, escribiendo

[X,Y]=meshgrid(1:.05:2,0:.05:1);
Z=sin(4*X.^2.*Y.^2)+sqrt(X.*Y).*exp(Y./X);
surf(X,Y,Z)
shading interp
alpha(.7)

de cuya ejecución se obtiene

Continuar

[X,Y]=meshgrid(1:.05:2);
Z=X.^2.*Y.^2-2*X.*Y-3+Y.^(5/2).*X.^(-3/2);
surf(X,Y,Z)
shading interp
alpha(.7)

genera la figura