Preliminares

Aunque este tema se centrará especialmente en ciertos tipos de ecuaciones en derivadas parciales de dimensión dos de segundo orden, veremos en esta sección algunos de los conceptos básicos de esta materia.

Una ecuación en derivadas parciales de dimensión dos de segundo orden es aquella en que la función incógnita depende de dos variables y al menos una de sus derivadas parciales segundas aparece en la ecuación.

De entre tipo de ecuaciones destacan las lineales:

Definición (Ecuación lineal homogénea).- Una e.d.p de segundo orden de dimensión dos es lineal homogénea si puede escribirse de la forma $$A(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ B(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}+ C(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+ a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+c(x,y)u=0$$

IMPORTANTE: Como ocurría en las e.d.o lineales homogéneas, cualquier combinación de lineal de soluciones de una e.d.p lineal homogénea es también solución de la ecuación.

En la siguiente tabla se resumen las analogías y diferencias entre las soluciones de e.d.o y las e.d.p lineales homogéneas de orden n:

	Solución general:	Conjunto de soluciones:
	familia dependiente de ...	espacio vectorial de ...
e.d.o	$n$ parámetros	dimensión $n$
e.d.p	$n$ funciones arbitrarias	dimensión infinita

Las soluciones de una e.d.p dependen fundamentalmente de las condiciones en el inicio del proceso que estén modelizando (condiciones iniciales), así como de las condiciones en que se encuentren los diferentes elementos que intervengan en él (condiciones en la frontera). Debido a esto, para la mayor parte de las e.d.p no es posible encontrar su solución general y se trabaja desde el principio con condiciones auxiliares en la búsqueda de soluciones particulares.

Definición(Problema de contorno).- Un problema de contorno está formado por una e.d.p junto con condiciones iniciales y en la frontera.

Las ecuaciones en derivadas parciales de dimensión dos de segundo orden se clasifican en tres tipos según el signo de $D(x,y)=B(x,y)^2-4A(x,y)C(x,y)$:

• hiperbólico: si $D(x,y)>0$,

• parabólico: si $D(x,y)=0$

• elíptico: si $D(x,y)<0$

Cada tipo se asocia con un grupo de fenómenos y procesos y presenta características propias en cuanto a la naturaleza de sus soluciones. A modo de ejemplo se presentan a continuación tres problemas basados cada uno en un tipo de ecuación; son seguramente las tres ecuaciones más características de la física matemática: la ecuación del calor, la ecuación de ondas y la ecuación de Laplace.

Problema del calor unidimensional

El problema del calor en una dimensión modela la distribución de la temperatura en un elemento unidimensional, por ejemplo una varilla, barra o alambre. Establecemos las bases del modelo:

• La longitud de la varilla es $L$.

• Se ha colocado a lo largo del eje $OX$, con el extremo izquierdo en $x=0$ y el derecho en $x=L$.

• Salvo los extremos, se supone que la varilla está aislada, de manera que el calor no entra ni sale a través de su superficie.

• Al tomar para la varilla una única dimensión significativa, la temperatura es constante en cada sección transversal correspondiente a un valor fijo de $x$.

ECUACIÓN DEL CALOR: Si denotamos por $u(x,t)$ la temperatura del punto $x$ en el momento $t$, utilizando los principios de física que rigen el flujo del calor, se obtiene la ecuación del flujo de calor unidimensional $$\frac{\partial u}{\partial t}=c\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ donde la constante positiva $c$ depende de la conductividad térmica del material de la varilla, su capacidad calorífica y su densidad (se expresa en unidades de $longitud^2/tiempo$). Esta ecuación es de tipo parabólico.

Condiciones que acompañan la ecuación: Estas condiciones pueden ser

• CONDICIÓN INICIAL (Condición de CAUCHY): establece el valor de la función temperatura frente a la posición cuando $t=0$, es decir, la función $$u(x,0)=f(x)\ \ ,\ \ \ 0<x<L$$

CONDICIONES EN LA FRONTERA (Condiciones de DIRICHLET): establecen el valor de la temperatura en los extremos de la varilla para cada momento $t$, es decir, las funciones $$u(0,t)=p(t)\ \ ,\ \ u(L,t)=q(t)\ \ ,\ \ \ t>0$$ Si $p(t)=0=q(t)$ la temperatura de los extremos permanece fija a cero grados; se dice entonces que las condiciones en los extremos son homogéneas.

CONDICIONES EN LA FRONTERA (Condiciones de NEUMANN): Como las anteriores pero la condición viene dada para la derivada normal.

Este problema, que modela el comportamiento de la temperatura en una varilla aislada, es aplicable asímismo a transferencia de calor en otros entornos, como puede ser una pared en la que consideremos que la temperatura no varía con la altura sino sólo en la dimensión transversal. Otro ámbito de aplicación de este problema son los procesos de transferencia de masa.

Problema de ondas unidimensional

Nos ocupamos ahora de modelizar el movimiento transversal de una cuerda vibrando. Hacemos las siguientes consideraciones

• La longitud de la cuerda es $L$ y esa es su única dimensión significativa.

• Se ha colocado a lo largo del eje $OX$, con el extremo izquierdo en $x=0$ y el derecho en $x=L$.

• La cuerda es elástica; tiene densidad lineal constante; también la tensión es constante y no actúan otras fuerzas sobre ella.

• La vibración de la cuerda es pequeña respecto de su longitud.

ECUACIÓN DE ONDAS: Si denotamos por $u(x,t)$ el desplazamiento vertical del punto $x$ en el momento $t$, la ecuación que rige el desplazamiento de la cuerda es $$u_{tt}=c^2u_{xx}$$ donde la constante $c$ depende de la tensión de la cuerda y su densidad lineal, y viene dada en unidades de $longitud/tiempo$. Esta ecuación es de tipo hiperbólico.

Condiciones que acompañan la ecuación: Estas condiciones pueden ser

• CONDICIÓN INICIAL (Condición de CAUCHY): establecen el valor del desplazamiento y de la velocidad frente a la posición cuando $t=0$, es decir, las funciones $$u(x,0)=f(x)\ \ ,\ \ u_t(x,0)=g(x)\ \ ,\ \ \ 0<x<L$$

CONDICIONES EN LA FRONTERA (Condiciones de DIRICHLET): establecen el desplazamiento de los extremos de la cuerda para cada momento $t$, es decir, las funciones $$u(0,t)=p(t)\ \ ,\ \ u(L,t)=q(t)\ \ ,\ \ \ t>0$$ Si $p(t)=0=q(t)$ los extremos permanecen fijos a altura cero; se dice entonces que las condiciones en los extremos son homogéneas.

CONDICIONES EN LA FRONTERA (Condiciones de NEUMANN): Como las anteriores pero la condición viene dada para la derivada normal.

Problema de Laplace en una placa rectangular

Consideramos ahora una placa rectangular de dos dimensiones significativas ($L\times M$). La situamos con un vértice en el origen de coordenadas y los lados sobre los ejes. Se llama $u(x,y)$ a la temperatura del punto $(x,y)$ de la placa en estado de equilibrio. También se dice que la solución es estacionaria o independiente del tiempo.

ECUACIÓN DEL LAPLACE: La ecuación que rige la distribución del calor establece que la variación de la temperatura respecto del tiempo es proporcional al laplaciano de la temperatura; para el caso estacionario, en el cual esa variación respecto del tiempo es nula, deberá ocurrir que el laplaciano sea nulo: $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$$ Esta es la llamada ecuación de Laplace de dimensión dos. Esta ecuación es de tipo elíptico.

Condiciones que acompañan la ecuación: Estas condiciones son todas en la frontera, es decir, para los puntos de la forma $(0,y)$ y $(L,y)$, para $y$ entre 0 y $M$ y los puntos de la forma $(x,0)$ y $(x,M)$, para $x$ entre 0 y $L$:

• CONDICIONES DE FRONTERA DE DIRICHLET: establecen el valor de la temperatura sobre los bordes de la placa

• CONDICIONES DE FRONTERA DE NEUMANN: establecen el valor de la derivada normal de la temperatura en los bordes de la placa

• CONDICIONES DE FRONTERA MIXTAS: en unos bordes se conoce la temperatura y en otros la derivada.