Se describe aquí el método de líneas aplicado a problemas lineales de tipo parabólico, como es el problema del calor.

Aplicación a un problema parabólico con condiciones de Dirichlet

Nos centramos en la ecuación $$u'_t=cu''_{xx}\ \ ,\ \ \ 0<x<L,\ t>0 $$ con la condición inicial $$u(x,0)=f(x)\ \ ,\ \ \ 0\leq x \leq L$$ y condiciones homogéneas en la frontera $$u(0,t)=0\ \ ,\ \ u(L,t)=0\ \ ,\ \ \ t>0$$

Este problema se ha presentado antes como el modelo para la temperatura en una varilla aislada, pero también es aplicable a transferencia de calor en otros entornos, como puede ser una pared en la que consideremos que la temperatura no varía con la altura sino sólo en la dimensión transversal; asímismo, este problema modeliza también procesos de transferencia de masa.

El método de líneas convierte este problema en un sistema de ecuaciones ordinarias de primer orden con condiciones iniciales; se basa en la sustitución de las derivadas espaciales por sus aproximaciones en diferencias finitas. Podemos esquematizarlo en las siguientes fases:

1. Fijar el incremento, $h$, que se tomará entre los puntos del intervalo $[0,L]$, o equivalentemente, fijar los puntos o nodos en el dominio espacial: $$x_0=0<x_1<x_2< \ldots < x_N< x_{N+1}=L$$ es decir, $$x_k=kh\ ,\ \ k=1,\, 2,\, \ldots,\, N$$ siendo $$h=\frac{L}{N+1}$$ El método aproximará las funciones $u(x_k,t)$ para $k=1,\, 2,\, \ldots,\, N$. Denotamos $$u_k(t)\approx u(x_k,t)$$ Cada una de estas funciones $u(x_k,t)$ verifica la ecuación, luego podemos escribir $$\frac{du_k}{dt}(x_k,t)=c\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_k,t)$$

2. Aproximar la derivada espacial en los nodos interiores, es decir, para cada $k$ entre $k=1$ y $k=N$: $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_k,t)=\frac{u_{k+1}-2u_k+u_{k-1}}{h^2}$$ que en la expresión anterior resultará, $$\frac{du_k}{dt}=\frac{c}{h^2}(u_{k+1}-2u_k+u_{k-1})\ ,\ \ k=1,\, 2,\, \ldots,\, N$$

3. Utilizar las condiciones de frontera; en el extremo izquierdo, $$u(0,t)=p(t) \ \ \ \Rightarrow\ \ \ u_0(t)=p(t)$$ y en el derecho, $$u(L,t)=q(t) \ \ \ \Rightarrow\ \ \ u_{N+1}(t)=q(t)$$ Estas expresiones se introducirán en la primera y en la última de las ecuaciones de $\frac{du_k}{dt}=\frac{c}{h^2}(u_{k+1}-2u_k+u_{k-1})$ que resultarán $$\frac{du_1}{dt}=\frac{c}{h^2}(u_2-2u_1+p(t))$$ y $$\frac{du_N}{dt}=\frac{c}{h^2}(q(t)-2u_N+u_{N-1})$$

4. Tener en cuenta la condición inicial, que aportará las $N$ condiciones iniciales del sistema: $$u(x,0)=f(x)\ \ \ \Rightarrow\ \ \ u(x_k,0)=u_k(0)=f(x_k)\ ,\ \ k=1,\, 2,\, \ldots,\, N$$

5. Con los pasos anteriores se consigue un sistema de $N$ ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con sus $N$ condiciones iniciales. El último paso es obviamente resolver ese sistema, con cualquiera de las técnicas conocidas para sistemas de ecuaciones con datos iniciales.

Aplicación a problemas parabólicos con una condición de Neumann

• Consideramos ahora el mismo problema que antes, pero sustituyendo la condición en el borde izquierdo por la siguiente condición de Neumann: $$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=0\ \ ,\ \ \ t>0$$ Es decir, el extremo izquierdo está aislado, no hay transferencia de calor (o de masa, si estuviéramos modelando un problema de transferencia de masa) a través de él. El método de líneas se aplica a este problema siguiendo los mismos pasos que antes, salvo en el tercer paso pues en este caso no contamos con $u(0,t)=u_0(t)$. Una opción es utilizar la aproximación mediante la diferencia finita hacia delante en el punto $x=0$: $$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) \approx \frac{-3 u_0+4u_1-u_2}{2h}$$ pero, puesto que esta derivada es cero, podemos despejar $u_0$, $$u_0=\frac{1}{3}(4u_1-u_2)$$ y sustituirlo en la primera ecuación de $\frac{du_k}{dt}=\frac{c}{h^2}(u_{k+1}-2u_k+u_{k-1})$, que es $$\frac{du_1}{dt}=\frac{c}{h^2}(u_2-2u_1+u_0)$$ resultando $$\frac{du_1}{dt}=\frac{2c}{3h^2}(u_2-u_1)$$ El resto de las ecuaciones del sistema se construirán como en el caso anterior, para así obtener el sistema de dimensión $N$ en las incógnitas $u_k(t)$ para $k$ desde $1$ hasta $N$.

• Si es el extremo derecho el que está aislado, la condición será $$\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=0\ \ ,\ \ \ t>0$$ En este caso no contamos con $u(L,t)=u_{N+1}(t)$; para poder expresar $u_{N+1}$ en función de otras $u_k$ utilizamos la aproximación por la diferencia finita hacia atrás: $$\frac{\partial u}{\partial x}(L,t) \approx \frac{3 u_{N+1}-4u_{N}+u_{N-1}}{2h}$$ Puesto que esta derivada es cero, podemos aproximar $u_{N+1}$ por $$u_{N+1}=\frac{1}{3}(4u_N-u_{N-1})$$ para sustituirlo en la última ecuación del sistema $\frac{du_k}{dt}=\frac{c}{h^2}(u_{k+1}-2u_k+u_{k-1})\ ,\ \ k=1,\, 2,\, \ldots,\, N$, resultando $$\frac{du_N}{dt}=\frac{2c}{3h^2}(u_{N-1}-u_N)$$ De esta forma se consigue el sistema de dimensión $N$ en las incógnitas $u_k(t)$ para $k$ desde $1$ hasta $N$.

Problema parabólico con un extremo expuesto a convección

Además de las condiciones de frontera expuestas en los casos anteriores, es importante considerar el caso de transferencia de calor o de materia por convección en uno o en ambos extremos. En la capa límite del fluído que rodee a la superficie de nuestro sólido, puede producirse transferencia de calor o de materia; este intercambio puede describirse mediante un coeficiente de transferencia de calor o de masa. Por ejemplo, el flujo de energía térmica desde la superficie hacia el fluido vendrá dado por $$k(u_0-u_a)$$ donde $u_a$ es la temperatura del fluido, $u_0$ es la temperatura en la superficie y $k$ es el coeficiente de transferencia de calor.

• Si la condición en el extremo izquierdo es del tipo $$-\alpha \frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=k(u-u_a)$$ podemos utilizar la misma aproximación por la diferencia finita hacia delante, es decir, $\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) \approx \frac{-3 u_0+4u_1-u_2}{2h}$ para aproximar la derivada y despejar $u_0$: $$u_0=\frac{ku_a+\frac{\alpha}{2h}(-4u_1+u_2)}{k-\frac{3\alpha}{2h}}$$

• Si es en el extremo derecho donde hay transferencia de calor o de masa por convección, el problema presentará una condición del tipo $$-\alpha \frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=k(u-u_a)$$ Utilizaremos la aproximación por la diferencia finita hacia atrás, es decir, $\frac{\partial u}{\partial x}(L,t) \approx \frac{3 u_{N+1}-4u_{N}+u_{N-1}}{2h}$ para aproximar la derivada y despejar $u_{N+1}$: $$u_{N+1}=\frac{ku_a+\frac{\alpha}{2h}(4u_{N}-u_{N-1})}{k+\frac{3\alpha}{2h}}$$