Búsqueda de la primitiva de $e^x(2x-1)^4$

Utilizamos integración por partes tomando como parte a derivar el factor polinómico y $e^x\, dx$ como parte a integrar: $$\int e^x(2x-1)^4\, dx = \left\{\begin{array}{lll} u=(2x-1)^4 & , & du=8(2x-1)^3 \\ dv=e^x\, dx & , & v=e^x \end{array}\right\}=e^x(2x-1)^4-8\int e^x(2x-1)^3\, dx$$ Procedemos igual con esta última integral, $$\int e^x(2x-1)^3\, dx = \left\{\begin{array}{lll} u=(2x-1)^3 & , & du=6(2x-1)^2 \\ dv=e^x\, dx & , & v=e^x \end{array}\right\}=e^x(2x-1)^3-6\int e^x(2x-1)^2\, dx$$ De nuevo aplicamos la misma técnica, $$\int e^x(2x-1)^2\, dx = \left\{\begin{array}{lll} u=(2x-1)^2 & , & du=4(2x-1) \\ dv=e^x\, dx & , & v=e^x \end{array}\right\}=e^x(2x-1)^2-4\int e^x(2x-1)\, dx$$ Y una vez más, $$\int e^x(2x-1)\, dx = \left\{\begin{array}{lll} u=2x-1 & , & du=2 \\ dv=e^x\, dx & , & v=e^x \end{array}\right\}=e^x(2x-1)-2\int e^x\, dx=e^x(2x-1)-2e^x+C$$ Combiando todas estas integrales tendremos $$\int e^x(2x-1)^4\, dx =e^x(2x-1)^4-8\left\{e^x(2x-1)^3-6\left[e^x(2x-1)^2-4\left(e^x(2x-1)-2e^x+C\right)\right]\right\}=$$ $$=e^x\left[(2x-1)^4-8(2x-1)^3+48(2x-1)^2-192(2x-1)+384\right]+K$$ Alternativamente, podríamos haber organizado esta integración por partes de la siguiente forma: llamando $p(x)=(2x-1)^4$ y teniendo en cuenta que la última derivada no nula es la de orden 4 y que es una constante, $$\int p(x)\, e^x\, dx=p(x)e^x-\int p'(x)\, e^x\, dx=e^x\left[p(x)-p'(x)\right]+\int p''(x)\, e^x\, dx=$$ $$=e^x\left[p(x)-p'(x)+p''(x)\right]-\int p'''(x)\, e^x\, dx=e^x\left[p(x)-p'(x)+p''(x)-p'''(x)\right]+\int p^{(4}(x)\, e^x\, dx=$$ $$=e^x\left[p(x)-p'(x)+p''(x)-p'''(x)+p^{(4}(x)\right]+K$$ Si se quiere expresar la primitiva en potencias de $x$ bastará con desarrollar los binomios $(2x-1)^n$ o bien desarrollando el binomio $(2x-1)^4$ antes de integrar: $$\begin{array}{rll} p(x)&=&16x^4-32x^3+24x^2-8x+1\\ -p'(x)&=&-64x^3+96x^2-48x+8 \\ p''(x)&=&192x^2-192x+48 \\ -p'''(x)&=&-384x+192 \\ p^{(4}(x)&=&384\end{array}$$ $$p(x)-p'(x)+p''(x)-p'''(x)+p^{(4}(x)=16x^4+(-32-64)x^3+(24+96+192)x^2+(-8-48-192-384)x+1+8+48+192+384=$$$$=16x^4-96x^3+312x^2-632x+633$$ y la primitiva nos quedaría expresada en potencias de $x$: $$\int e^x(2x-1)^4\, dx=e^x\left[16x^4 - 96x^3 + 312x^2 - 632x + 633\right]+K$$