Lo primero que hemos de analizar es cómo cambian los volúmenes en cada depósito. Podemos recoger la información del enunciado en una tabla:

	entran (por minuto)	salen (por minuto)
Depósito 1	$5+3$ litros	4 litros
Depósito 2	4 litros	3 litros

De aquí deducimos que los volúmenes de disolución en los depósitos no son constantes. Dependen de $t$, en minutos, según las fórmulas... Encuéntralas y pulsa en 'Ver'.

Llamamos $S_1(t)$ y $S_2(t)$ a las cantidades (en Kg.) de soluto en los depósitos 1 y 2 respectivamente, en función del tiempo en minutos. Debemos escribir las ecuaciones diferenciales para $S_1(t)$ y $S_2(t)$. Para ello utilizamos que la tasa de acumulación de soluto en cada depósito es la diferencia entre la tasa de entrada y la tasa de salida; cada una de estas tasas se mide, en este problema, en Kg$/$minuto. La primera ecuación es:

El sistema completo es $$\left\{\begin{array}{ll} S'_1(t)=0.5+3\frac{S_2(t)}{V_2(t)}-4\frac{S_1(t)}{V_1(t)} , & S_1(0)=4 \\ S'_2(t)=4\frac{S_1(t)}{V_1(t)}-3\frac{S_2(t)}{V_2(t)} , & S_2(0)=5 \end{array}\right.$$ Continuar

Resolución del segundo apartado del Caso 1

Este sistema admite una resolución analítica sencilla, pues si sumamos las dos ecuaciones tendremos $$S'_1(t)+S'_2(t)=0.5$$ expresión que podemos integrar: $$S_1(t)+S_2(t)=\frac{t}{2}+C$$ ¿Qué podemos hacer para calcular el valor de la constante $C$? Piénsalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.

Si llamamos $$p(t)=\frac{1}{10+t}+\frac{3}{100+t}$$ el factor integrante es $$\mu(t)=e^{\int p(t)\, dt}$$ es decir, $$\mu(t)=(10+t)(100+t)^3$$ y la solución general es $$S_2(t)=\frac{1}{2(10+t)(100+t)^3}\int (18+t)(100+t)^3\, dt$$ Para ahorrarnos trabajo en el cálculo de esta primitiva podemos recurrir al ordenador, $$q(t)=\int (18+t)(100+t)^3\, dt=\frac{t^5}{5}+\frac{159 t^4}{2}+11800 t^3+77\cdot 10^4 t^2+18\cdot 10^6 t+C$$ y entonces $$S_2(t)=\frac{q(t)}{2(10+t)(100+t)^3}$$ El valor de la constante $C$ se obtiene imponiendo que $S_2(0)=5$: $$S_2(0)=5=\frac{C}{2\cdot 10^7}\hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} C=10^8$$ La expresión para $S_1(t)$ se obtendrá de $$S_1(t)=\frac{t}{2}+9-S_2(t)$$ Continuar

Resolución del tercer apartado del Caso 1

Si para calcular la primitiva precisa para determinar $S_2(t)$ habíamos utilizado el ordenador, podemos añadir en el mismo fichero las líneas para definir $S_1(t)$ y $S_2(t)$ como objetos simbólicos y a continuación generar con ellos vectores que representar con el 'plot':

%%%%%%% cálculo de las expresiones simbólicas para S_1 y S_2
syms t;
q=int((t+18)*(100+t)^3);
s2=(q+10^8)/(2*(10+t)*(100+t)^3); % cantidad en el dep.2
s1=t/2+9-s2;                      % cantidad en el dep.1

%%%%%% representación
vt=0:.1:10;
vs1=subs(s1,t,vt);    % cantidades en el dep. 1 para t entre 0 y 10 cad décima de min.
vs2=subs(s2,t,vt);    % cantidades en el dep. 2 para t entre 0 y 10 cad décima de min.
vs=[vs1' vs2']
figure(1)
plot(vt,vs)
xlabel('tiempo (min)');ylabel('cantidades de soluto (Kg)')
legend('depósito 1','depósito 2','Location','North')

La ejecución de estas líneas produce en la figura 1 las siguientes gráficas:

Las cantidades de soluto son crecientes en ambos depósitos, pero ese crecimiento es más rápido en el 1; de hecho, para $t$ cerca de $9.4$ minutos, la cantidad en este depósito es mayor que la del 2. También podemos observar que el soluto del depósito 1 aumenta cada vez más deprisa (la gráfica es cóncava) mientras que en el 2 el soluto aumenta cada vez más despacio (la gráfica es convexa). Continuar

Resolución del cuarto apartado del Caso 1

Utilizamos ahora 'ode45' como en otras ocasiones, definiendo previamente una función vectorial con los segundos miembros de las ecuaciones. Añadiremos en el fichero anterior las siguientes líneas

%%%%%%%% aproximación con ode45 y comparación
f=@(u,s) [.5+3*s(2)/(100+u)-s(1)/(10+u);-3*s(2)/(100+u)+s(1)/(10+u)];
[vt,sest]=ode45(f,vt,[4 5]);
difer=sest-vs

Tras ejecutarlo podemos comprobar que la aproximación es muy buena, pues la diferencia entre los valores más distantes es de $6\cdot 10^{-8}$. Continuar

Resolución del primer apartado del Caso 2

A los mismos datos del apartado anterior se añade la salida de disolución del depósito 2, a razón de 2 litros por minuto. Ahora la tabla de entrada y salida es la siguiente:

	entran (por minuto)	salen (por minuto)
Depósito 1	$5+3$ litros	4 litros
Depósito 2	4 litros	$3+2$ litros

de manera que las funciones volumen son $$V_1(t)=V_{10}+4t=4(10+t) \hspace{.5cm} , \hspace{.5cm} V_2(t)=V_{20}-t=100-t$$ Encuentra el sistema diferencial que modeliza el proceso y pulsa en 'Ver'.

%%%%%%%%%%%%%% aproximación con ode45 cuando se abre orificio de salida en
%%%%%%%%%%%%%% dep 2, con flujo de salida= 2
f=@(u,s) [.5+3*s(2)/(100-u)-s(1)/(10+u);-5*s(2)/(100-u)+s(1)/(10+u)];
[vt,sest]=ode45(f,vt,[4 5]);
figure(2)
plot(vt,sest)
xlabel('tiempo (min)');ylabel('cantidades de soluto (Kg)')
legend('depósito 1','depósito 2','Location','North')

Las gráficas de las cantidades aproximadas son

En este caso el aumento de la cantidad de soluto en el depósito 2 es todavía más suave y para $t$ cerca de los $5.5$ minutos ya hay más soluto en el primer depósito. Continuar

Resolución del segundo apartado del Caso 2

En este apartado la razón de salida es de 5 litros por minuto:

	entran (por minuto)	salen (por minuto)
Depósito 1	$5+3$ litros	4 litros
Depósito 2	4 litros	$3+5$ litros

luego $$V_1(t)=V_{10}+4t=4(10+t) \hspace{.5cm} , \hspace{.5cm} V_2(t)=V_{20}-t=100-4t$$ El sistema diferencial que modeliza el proceso es $$\left\{\begin{array}{ll} S'_1(t)=0.5+3\frac{S_2(t)}{V_2(t)}-4\frac{S_1(t)}{V_1(t)} , & S_1(0)=4 \\ S'_2(t)=4\frac{S_1(t)}{V_1(t)}-8\frac{S_2(t)}{V_2(t)} , & S_2(0)=5 \end{array}\right.$$ o bien $$\left\{\begin{array}{ll} S'_1(t)=0.5+3\frac{S_2(t)}{100-4t}-\frac{S_1(t)}{10+t} , & S_1(0)=4 \\ S'_2(t)=\frac{S_1(t)}{10+t}-2\frac{S_2(t)}{25-t} , & S_2(0)=5 \end{array}\right.$$ Escribe en el fichero las líneas para calcular las aproximaciones y representarlas en la figura 3. Pulsa en 'Ver' cuando termines.

%%%%%%%%%%%%%% aproximación con ode45 cuando se abre orificio de salida en
%%%%%%%%%%%%%% dep 2, con flujo de salida= 5
f=@(u,s) [.5+3*s(2)/(100-4*u)-s(1)/(10+u);-2*s(2)/(25-u)+s(1)/(10+u)];
[vt,sest]=ode45(f,vt,[4 5]);
figure(3)
plot(vt,sest)
xlabel('tiempo (min)');ylabel('cantidades de soluto (Kg)')
legend('depósito 1','depósito 2','Location','North')