Generalidades

Definición(Sistema de ecuaciones diferenciales).- Un sistema de ecuaciones diferenciales de dimensión $n$ es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con $n$ funciones incógnitas.

Al igual que una ecuación iba acompañada de una condición para formar un p.v.i, un sistema de dimensión $n$ irá acompañado de $n$ condiciones iniciales, una para cada función incógnita.

Definición(Sistema de dimensión dos).- Tomaremos como forma general del sistema de dimensión dos, con condiciones iniciales, la siguiente $$\left\{\begin{array}{l} x'_1(t)=f_1(t,x_1,x_2)\ \ ,\ \ x_1(t_0)=y_0 \\ x'_2(t)=f_2(t,x_1,x_2) \ \ ,\ \ x_2(t_0)=y_1 \end{array}\right.$$

Definición(Sistema de dimensión dos lineal).- El sistema es lineal cuando $f_1(t,x_1,x_2)$ y $f_2(t,x_1,x_2)$ son funciones lineales en las variables $x_1$ y $x_2$, es decir, cuando se pueda escribir como $$\left\{\begin{array}{l} x'_1(t)=a_{11}(t) x_1(t)+a_{12}(t) x_2(t)+g_1(t)\ \ ,\ \ x_1(t_0)=y_0 \\ x'_2(t)=a_{21}(t) x_1(t)+a_{22}(t) x_2(t)+g_2(t) \ \ ,\ \ x_2(t_0)=y_1 \end{array}\right.$$

Definición(Sistema homogéneo).- El sistema lineal anterior es homogéneo si $g_1(t)=0$ y $g_2(t)=0$.

TEOREMA de existencia y unicidad de solución: Si $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{21}$, $a_{22}$, $g_1$ y $g_2$ son continuas en el intervalo $(a,b)$, que contiene al punto $t_0$, entonces, para cualquier elección de los valores iniciales $y_0$ e $y_1$, el problema $$\left\{\begin{array}{l} x'_1(t)=a_{11}(t) x_1(t)+a_{12}(t) x_2(t)+g_1(t)\ \ ,\ \ x_1(t_0)=y_0 \\ x'_2(t)=a_{21}(t) x_1(t)+a_{22}(t) x_2(t)+g_2(t) \ \ ,\ \ x_2(t_0)=y_1 \end{array}\right.$$ tiene solución única, $\{x_1(t),x_2(t)\}$, definida en el intervalo $(a,b)$.

Resolución analítica de sistemas lineales

Uno de los métodos más sencillo para resolver el sistema lineal anterior se basa en obtener una ecuación lineal de segundo orden en una de las incógnitas, que será una ecuación de coeficientes constantes si lo es el sistema. Este método consta de los siguientes pasos:

• De una de las ecuaciones se despeja una de las variables; por ejemplo, si despejamos $x_2$ de la primera ecuación quedará en función de $x_1$, de $x'_1$ y de $g_1(t)$.

• Se sustituye en la segunda ecuación del sistema

  1. la $x_2$ por la expresión obtenida en el primer paso

  2. la $x'_2$ por la derivada de la expresión obtenida para $x_2$ en el primer paso

  como resultado tendremos una ecuación lineal de segundo orden en $x_1(t)$.

• Se resuelve esa ecuación de segundo grado, y tendremos $x_1$

• Sustituimos $x_1$ y su derivada en la ecuación obtenida en el primer paso, para hallar $x_2$.