Sistema de dimensión dos

Tomaremos como forma general del sistema de dimensión dos la siguiente $$\left\{\begin{array}{l} x'_1(t)=f_1(t,x_1,x_2)\ \ ,\ \ x_1(t_0)=y_0 \\ x'_2(t)=f_2(t,x_1,x_2) \ \ ,\ \ x_2(t_0)=y_1 \end{array}\right.$$

Los métodos numéricos que presentamos aquí estiman la solución en un conjunto de puntos equidistantes un cierto paso. Si $h$ es el valor de ese paso, se denota por $x_{n,1}$ y $x_{n,2}$ los valores aproximados de $x_1(t_n)$ y $x_2(t_n)$, respectivamente, donde $t_n=t_0+nh$ para $n=1,\, 2,\ldots$

• El método de Euler se rige por las fórmulas de recurrencia $$\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\left\{\begin{array}{l} x_{n+1,i}=x_{n,i}+hf_i(t_n,x_{n,1},x_{n,2}) \\ t_{n+1}=t_n+h \end{array}\right. \ \ ,\ i=1,2$$

• Las del método de Euler mejorado son $$\renewcommand{\arraystretch}{1.3}\left\{\begin{array}{l} x_{n+1,i}=x_{n,i}+\frac{h}{2}\left[f_i(t_n,x_{n,1},x_{n,2})+f_i(t_{n+1},x^*_{n,1},x^*_{n,2})\right] \\ t_{n+1}=t_n+h \end{array}\right. \ \ , \ i=1,2$$ siendo $$ x^*_{n,i}=x_{n,i}+hf_i(t_n,x_{n,1},x_{n,2}) \ \ , \ i=1,2$$

• La generalización del método clásico de Runge-Kutta de orden 4 es $$\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\left\{\begin{array}{l} x_{n+1,i}=x_{n,i}+\frac{h}{6}(K_{1,i}+2K_{2,i}+2K_{3,i}+K_{4,i}) \\ t_{n+1}=t_n+h \end{array}\right. \ \ ,\ i=1,2$$ donde \begin{eqnarray*} K_{1,i} &=& f_i(t_n,x_{n,1},x_{n,2}) \ \ ,\ i=1,2 \\ K_{2,i} &=& f_i(t_n+\frac{h}{2},x_{n,1}+\frac{h}{2}K_{1,1},x_{n,2}+\frac{h}{2}K_{1,2}) \ \ ,\ i=1,2 \\ K_{3,i} &=& f_i(t_n+\frac{h}{2},x_{n,1}+\frac{h}{2}K_{2,1},x_{n,2}+\frac{h}{2}K_{2,2}) \ \ ,\ i=1,2 \\ K_{4,i} &=& f_i(t_n+h,x_{n,1}+h K_{3,1},x_{n,2}+h K_{3,2}) \ \ ,\ i=1,2 \end{eqnarray*}