Resolución aproximada de p.v.i: Conversión a sistemas

Las aproximaciones numéricas de la solución de un problema de valor inicial de segundo orden se pueden conseguir transformando la ecuación de segundo orden en un sistema de dos ecuaciones de primer orden: cualquier problema del tipo $$y''(t)=F(t,y,y') \ ,\ \ y(t_0)=y_0\ , \ y'(t_0)=y_1$$ se convierte en el sistema de primer orden siguiente $$\left\{\begin{array}{lll}x'_1(t)=x_2(t)&,& x_1(t_0)=y_0 \\ x'_2(t)=F(t,x_1,x_2) &,& x_2(t_0)=y_1 \end{array}\right.$$ donde $$x_1(t)=y(t)\ , \ \ x_2(t)=y'(t)$$ Una vez realizada esta transformación del p.v.i. de segundo orden a un sistema de ecuaciones de primer orden con condiciones, podremos aplicar los métodos numéricos para aproximar las soluciones.

Resolución aproximada de p.v.f: Método de diferencias finitas

La idea de este método es sustituir las derivadas por un cociente de diferencias y resolver el sistema algebraico lineal al que esta sustitución da lugar.

• Consideremos el problema $$\left\{\begin{array}{ll}y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=g(x) \ , &a<x<b \\ y(a)=y_0 \ ,\ y(b)=y_1\end{array}\right.$$ El objetivo es encontrar los valores aproximados de la solución en $N$ puntos intermedios a $a$ y $b$: $$x_0=a<x_1<x_2< \ldots < x_N< x_{N+1}=b$$ es decir, $$x_k=a+kh\ ,\ \ k=1,\, 2,\, \ldots,\, N$$ siendo $$h=\frac{b-a}{N+1}$$ Llamamos $w_k$ al valor aproximado de $y(x_k)$. Utilizando la serie de Taylor de $y(x)$ centrada en $x_k$, se obtienen las siguientes aproximaciones para $y'(x_k)$ e $y''(x_k)$: $$y'(x_k)\simeq \frac{1}{2h}(w_{k+1}-w_{k-1})$$ $$y''(x_k)\simeq \frac{1}{h^2}(w_{k+1}-2w_k+w_{k-1})$$ Puesto que $y(x)$ es solución, para cada $k$, se cumple $$y''(x_k)+p(x_k)y'(x_k)+q(x_k)y(x_k)=g(x_k)$$ y sustituyendo aquí las aproximaciones anteriores, se obtiene $$\frac{1}{h^2}(w_{k+1}-2w_k+w_{k-1})+p(x_k) \frac{1}{2h}(w_{k+1}-w_{k-1})+q(x_k)w_k=g(x_k) \ ,\ k=1,\, 2,\, \ldots,\, N$$ o reordenando $$\left(\frac{1}{h^2}-\frac{p(x_k)}{2h}\right)w_{k-1}+\left(\frac{-2}{h^2}+q(x_k)\right)w_k+ \left(\frac{1}{h^2}+\frac{p(x_k)}{2h}\right)w_{k+1}=g(x_k) \ ,\ k=1,\, 2,\, \ldots,\, N$$ es decir, un sistema algebraico lineal de dimensión $N$ en las incógnitas $w_1$, $w_2$, $\ldots$, $w_N$; debe tenerse en cuenta que $w_0=y(a)$ y $w_{N+1}=y(b)$ son conocidos.

• Si el problema fuera mixto, de manera que no se conocieran uno o dos de los valores de la función en los extremos, sino el valor de la derivada, debemos adaptar el proceso anterior. Por ejemplo, si las condiciones en $a$ y en $b$ fueran $$y(a)=y_0 \ \ ,\ \ \frac{dy}{dx}(b)=y_1$$ procederemos de la forma siguiente:

  • escribir la aproximación de la derivada en $x=b$, $$y_1=\frac{dy}{dx}(b)=\frac{w_{N+2}-w_N}{2h}$$ donde $w_{N+2}$ es la aproximación de $y$ en un punto ficticio $x_{N+2}=x_{N+1}+h$;

  • utilizar la relación anterior entre $w_{N+2}$ y $w_N$ en la ecuación que resulta de tomar $K=N+1$ en $$\left(\frac{1}{h^2}-\frac{p(x_k)}{2h}\right)w_{k-1}+\left(\frac{-2}{h^2}+q(x_k)\right)w_k+ \left(\frac{1}{h^2}+\frac{p(x_k)}{2h}\right)w_{k+1}=g(x_k) \ ,\ k=1,\, 2,\, \ldots,\, N$$

  • con la ecuación que se obtenga en el paso anterior, el sistema tendrá $N+1$ ecuaciones en las incógnitas $w_k$, para $k=1,\, 2,\, \ldots,\, N+1$.