Primeras definiciones

• E.d.o lineal de segundo orden: es aquella que es lineal en $y$, $y'$ e $y''$, por lo que es de la forma: $$a_2(x)y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=b(x)$$

• Forma canónica: es la que se obtiene dividiendo entre $a_2(x)$ y que usaremos en todo el tema: $$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=R(x)$$

• E.d.o lineal de segundo orden homogénea: es aquella en la cual $R(x)=0$.

• E.d.o lineal de segundo orden completa: es aquella en la cual $R(x)$ no es la función cero.

• Ecuación homogénea asociada a la ecuación completa: es $$ y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0$$

• E.d.o lineal de segundo orden de coeficientes constantes: es aquella en la que $p(x)$ y $q(x)$ son constantes, se escribe $$ y''(x)+py'(x)+qy(x)=R(x)$$

• Solución general: Una familia biparamétrica de funciones $y(x)=\phi(x,C_1,C_2)$ es solución general de la ecuación $y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=R(x)$ si cada función de la familia satisface la ecuación y si dados unos valores $y_0$ e $y_1$, existen $C_1$ y $C_2$ tales que la correspondiente función cumpla que $y(x_0)=y_0$ y que $y'(x_0)=y_1$.

Clasificación de los problemas según el tipo de condiciones que acompañan a la ecuación

Según el tipo de condiciones que acompañan a la ecuación, los problemas formados por una ecuación y sus condiciones se clasifican en:

• Problema de valores iniciales (p.v.i): es el formado por la ecuación $y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=R(x)$ junto con los valores que debe tomar la solución y su derivada en un mismo punto $x=x_0$: $$y(x_0)=y_0\ \ \ ,\ \ \ y'(x_0)=y_1$$

• Problema de valores en la frontera (p.v.f): es el formado por una ecuación $y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=R(x)$ junto con los valores fijados para la solución en dos puntos distintos $x=a$ y $x=b$: $$y(a)=y_0\ \ \ ,\ \ \ y(b)=y_1$$

• Problema mixto: es el formado por una ecuación $y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=R(x)$ junto con la relación entre los valores de la solución y su derivada en dos puntos distintos $x=a$ y $x=b$: $$\alpha_1 y(a)+ \alpha_2 y'(a)=0\ \ \ ,\ \ \ \beta_1 y(b)+ \beta_2 y'(b)=0\ \ \ ,\ \ \ \ \ \alpha_i,\beta_i \in{\bf R}$$

Teorema de existencia y unicidad de solución para un p.v.i

TEOREMA: Si $p(x)$, $q(x)$ y $R(x)$ son continuas en el intervalo $(a,b)$ que contiene al punto $x=x_0$, entonces, para cualquier elección de los valores iniciales $y_0$ e $y_1$, el problema $$ \left\{\begin{array}{l} y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=R(x) \\ y(x_0)=y_0\ \ \ ,\ \ \ y'(x_0)=y_1 \end{array}\right. $$ tiene solución única en todo el intervalo $(a,b)$.