Construcción de la solución general

Definición(Ecuación lineal homogénea).- La forma general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden es $$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0$$

Debido a la linealidad y la homogeneidad de esta ecuación, cualquier combinación lineal de sus soluciones es también solución. En particular, si $y_1(x)$ e $y_2(x)$ son soluciones, la función $$y(x)=C_1 y_1(x)+C_2y_2(x)$$ es también solución para cualquier elección de las constantes $C_1$ y $C_2$. De hecho se puede demostrar que esta expresión es la solución general de la ecuación.

Definición(Sistema fundamental de soluciones).- Dos soluciones $y_1(x)$ e $y_2(x)$ de la ecuación anterior forman un sistema fundamental de soluciones si no son proporcionales (dos funciones son proporcionales si su cociente es constante).

TEOREMA (Construcción de la solución general): Si $\{y_1(x), y_2(x)\}$ es un sistema fundamental de soluciones, la solución general de al ecuación es la familia biparamétrica $$y(x)=C_1 y_1(x)+C_2y_2(x)$$

Esto significa que el problema de encontrar la solución general de una ecuación lineal homogénea está resuelto si se han encontrado dos soluciones no proporcionales.

Reducción de orden

En relación a lo anterior, si sólo se conoce la solución $y_1(x)$ se necesita otra solución, $y_2(x)$, para formar el sistema fundamental. El método de reducción de orden, que permite hallar esa solución no proporcional, consta de los siguiente pasos:

1. Escribimos $y_2(x)=v(x)y_1(x)$; el objetivo ahora es encontrar $v(x)$.

2. Derivamos dos veces $y_2(x)=v(x)y_1(x)$ e imponemos que se verifique la ecuación.

3. Agrupamos los términos en $v''(x)$ (sólo hay uno), en $v'(x)$ y en $v(x)$.

4. El término en $v(x)$ debe anularse por ser $y_1(x)$ solución, luego resulta una ecuación de primer orden en $v'(x)$, de la cual se obtiene esta función. Este hecho es el que da nombre al método.

5. Se integra $v'(x)$ para encontrar $v(x)$ y con ella la solución $y_2(x)$ requerida.

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

La forma general de las ecuaciones de este tipo es $$y''(x)+py'(x)+qy(x)=0$$

Definición(Ecuación característica o auxiliar).- Cada ecuación de este tipo lleva asociada la ecuación algebraica $$r^2+pr+q=0$$ que se llama ecuación característica o auxiliar.

Conociendo las raíces de esta ecuación característica, podemos formar la solución general de la ecuación diferencia. Según que $p^2-4q$ sea positivo, nulo o negativo, nos encontraremos con tres situaciones diferentes:

1. si la ecuación característica tiene dos raíces $r_1$ y $r_2$ reales diferentes: el sistema fundamental de soluciones es $$y_1(x)=e^{r_1x}\ \ ,\ \ y_2(x)=e^{r_2x}$$ y la solución general será $$y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$

2. si tiene una raíz $r$ real doble: el sistema fundamental de soluciones es $$y_1(x)=e^{rx}\ \ ,\ \ y_2(x)=xe^{rx}$$ y la solución general será $$y(x)=e^{rx}(C_1+C_2x)$$ La segunda solución se ha encontrado mediante el método de reducción de orden

3. si tiene dos raíces $r_1=a+bi$ y $r_2=a-bi$ complejas conjugadas: el sistema fundamental de soluciones es $$y_1(x)=e^{ax}\cos bx\ \ ,\ \ y_2(x)=e^{ax}\,\mbox{sen}\, bx$$ y la solución general será $$y(x)=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\,\mbox{sen}\, bx)$$