Construcción de la solución general de la ecuación completa

La solución general de la ecuación completa $$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=R(x)$$ es la suma de la solución general de la homogénea asociada más una particular de la completa: la diferencia entre dos soluciones de la completa es siempre solución de la homogénea asociada.

En esta sección se recogen técnicas para encontrar una solución particular de la ecuación completa. En ocasiones este proceso resulta más sencillo si utilizamos el siguiente principio:

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: Si $y_1(x)$ es solución de $$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=R_1(x)$$ e $y_2(x)$ es solución de $$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=R_2(x)$$ entonces $\alpha_1y_1(x)+\alpha_2y_2(x)$ es solución de $$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=\alpha_1R_1(x)+\alpha_2R_2(x)$$

Veamos a continuación dos métodos para encontrar una solución particular de una ecuación lineal no homogénea.

Método de coeficientes indeterminados

Este método se aplica únicamente cuando los coeficientes son constantes; su utilización permite construir una solución particular de la ecuación $$y''(x)+py'(x)+qy(x)=R(x)$$ cuando $R(x)$ es combinación lineal o producto de funciones polinómicas, exponenciales, cosenos y senos.

• La idea básica del método es buscar una solución particular del mismo tipo que el término $R(x)$, puesto que la parte izquierda de la ecuación es únicamente una combinación lineal de $y(x)$ y sus derivadas.

• Es imprescindible haber resuelto la ecuación característica de la homogénea asociada y disponer ya del sistema fundamental de soluciones de esa ecuación.

• El primer paso del método es el diseño de una propuesta de solución particular, $y_p(x)$, del mismo tipo que la función $R(x)$ (Ver cuadro). Esta función $y_p(x)$ dependerá de unos coeficientes aún por determinar\footnote{De aquí el nombre de este método.}.

• El segundo paso es el cálculo de esos coeficientes, para lo cual hay que derivar dos veces $y_p(x)$ e imponer que cumpla la ecuación; se obtendrá un sistema lineal de ecuaciones de la misma dimensión que el número de coeficientes a determinar.

• En el diseño de $y_p(x)$ es muy importante tener en cuenta que no debe contener ningún sumando que sea solución de la homogénea asociada.

• En virtud del principio de superposición, a una suma de funciones $R(x)$ de las del cuadro, le corresponderá una suma de las soluciones propuestas para cada sumando.

• Lo mismo puede indicarse si el segundo término de la ecuación es producto de funciones $R(x)$ de las del cuadro, teniendo en cuenta que habrá que añadir un único factor $x^s$.

En la tabla siguiente se recogen las diferentes soluciones particulares propuestas según diferentes valores de $R(x)$. En todos los casos $s$ es el menor entero no negativo tal que ningún sumando de $y_p(x)$ sea solución de la homogénea asociada.

$R(x)$	$y_p(x)$
$ae^{kx}$	$Ax^se^{kx}$
$b_0+b_1x+\cdots +b_mx^m$	$x^s(B_0+B_1x+\cdots +B_mx^m)$
$a_0\cos kx+a_1\,\mbox{sen}\, kx$	$x^s(A_0\cos kx+A_1\,\mbox{sen}\, kx)$

Método de variación de constantes

Con este método podremos encontrar una solución particular para una ecuación del tipo $$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=R(x)$$ pues también es válido para coeficientes no constantes, siempre que se conozca el sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada.

1. La idea, que da nombre al método, es sustituir las constantes de la familia solución general de la homogénea $$y_h(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$$ por funciones, para hallar una solución particular de la forma $$y_p(x)=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)$$

2. Puesto que deben hallarse dos incógnitas, necesitaremos una condición añadida, que además permita simplificar los cálculos; esta condición es $$C_1'(x)y_1(x)+C_2'(x)y_2(x)=0$$

3. El primer paso del desarrollo del método consiste en derivar dos veces $y_p(x)$ e imponer que verifique la ecuación; de ahí se obtendrá la ecuación en $C_1'(x)$ y $C'_2(x)$ siguiente $$ C_1'(x)y'_1(x)+C_2'(x)y'_2(x)=R(x)$$

4. Después, se resuelve el sistema en las incógnitas $C'_1(x)$ y $C'_2(x)$ formado por esta ecuación junto con la condición añadida del punto 2; este sistema siempre tiene solución única puesto que las soluciones $y_1$ e $y_2$ son no proporcionales.

5. Por último se integran $C'_1(x)$ y $C'_2(x)$ para obtener la solución $y_p(x)$ buscada.

En el caso en que la ecuación sea de coeficientes constantes y por tanto ambos métodos son aplicables, la ventaja del de variación de constantes respecto al de coeficientes indeterminados es que no restringe el tipo de $R(x)$; su desventaja es que conlleva integración, lo que en muchos casos complica su aplicación respecto al de coeficientes indeterminados, en el que no se calculan primitivas.