Sistema de tanques conectados

Consideramos aquí un sistema de dos tanques conectados. El tanque 1 contiene inicialmente un volumen $V_1$ L de cierta disolución con $Q_{10}$ gr. de cierto soluto. Paralelamente, el tanque 2 contiene $V_2$ L con $Q_{20}$ gr disueltos. El tanque 1 recibe, desde el comienzo del proceso y desde el exterior, un flujo de $F_{1e}$ L$/$min con una concentración de $C_{1e}$ gr$/$L y el tanque 2 recibe también del exterior $F_{2e}$ L$/$min con una concentración de $C_{2e}$ gr$/$L. Del tanque 1 al 2 pasa disolución a razón de $F_{1s2}$ L$/$min; del 2 salen $F_{2s1}$ L$/$min hacia el 1 y $F_{2s}$ L$/$min hacia el exterior del sistema. Llamamos $Q_1(t)$ y $Q_2(t)$ a las cantidades de soluto en cada tanque en el momento $t$ y trabajamos en el supuesto de que $$F_{1e}+F_{2s1}=F_{1s2}\ \ \ ,\ \ \ F_{2e}+F_{1s2}=F_{2s1}+F_{2s}$$ lo que significa que los volúmenes de ambos tanques permanecen constantes. Para encontrar un modelo para $Q_1(t)$ y $Q_2(t)$ se utilizará el balance de materia en cada tanque: $$\mbox{Tasa acumulación}=\mbox{Tasa de entrada}-\mbox{Tasa de salida}$$ En el tanque 1, $$\frac{dQ_1}{dt} \ (\mbox{gr/min}) = F_{1e}C_{1e} \ (\mbox{L/min}) \ (\mbox{gr/L})+ F_{2s1}\frac{Q_2}{V_2}\ (\mbox{L/min}) \ (\mbox{gr/L})-F_{1s2} \frac{Q_1}{V_1}\ (\mbox{L/min}) \ (\mbox{gr/L})$$ o bien $$\frac{dQ_1}{dt}= -\frac{F_{1s2}}{V_1} Q_1 + \frac{F_{2s1}}{V_2}Q_2+ F_{1e}C_{1e}$$ De la misma forma se obtiene que en el tanque 2 $$\frac{dQ_2}{dt}= \frac{F_{1s2}}{V_1} Q_1 - \frac{F_{2s1}+F_{2s}}{V_2}Q_2+ F_{2e}C_{2e}$$ Estas ecuaciones simultáneas irán acompañadas de las condiciones iniciales $$Q_1(0)=Q_{10}\ \ ,\ \ Q_2(0)=Q_{20}$$ Es importante observar que las ecuaciones que rigen este proceso son lineales en $Q_1$ y $Q_2$.

Reacciones en cadena

Consideramos la siguiente reacción en cadena, bajo el supuesto de que cada compuesto reacciona proporcionalmente a la cantidad presente en ese momento: $$A\begin{array}{c}{\scriptstyle k_1} \\ \rightleftharpoons \\ {\scriptstyle k_2}\end{array} B \stackrel{k_3}{\rightarrow} X$$ Las ecuaciones diferenciales que rigen el proceso son $$\begin{array}{lll} \frac{d C_A}{dt}&=&-k_1C_A+k_2C_B \\ \frac{d C_B}{dt}&=&k_1C_A-(k_2+k_3)C_B\end{array} $$ con los valores iniciales $C_A=C_{A0}$, $C_B=0$.

Sistema resorte-masa acoplado

Sobre una superficie horizontal lisa se sujeta una masa $M_1$ a una superficie vertical por medio de un resorte; otra masa, $M_2$, se conecta al primer objeto mediante otro resorte. Los objetos se alinean horizontalmente de modo que los muelles queden con sus longitudes naturales (situación de equilibrio). Llamamos $x_1$ e $x_2$ al desplazamiento de las masas $M_1$ y $M_2$, respectivamente, desde esa situación de equilibrio. El objetivo es encontrar las expresiones de $x_1$ y $x_2$ en función del tiempo, si inicialmente $x_1=x_2=d$, sólo el primer muelle es el que cambia su longitud natural; además trabajamos en el supuesto de que puedan despreciarse las fuerzas de rozamiento sobre la superficie. En primer lugar debemos utilizar, al igual que en la aplicación \ref{apli68}, que la fuerza que actúa sobre un objeto causada por un resorte tiene una magnitud proporcional a la elongación del resorte a partir de su longitud natural y de sentido opuesto a la elongación; si $k_1$ es la constante de rigidez del primer resorte y $k_2$ la del segundo, sobre la masa $M_1$ actúan las fuerzas $$F_{m11}=-k_1x_1 \ \ \ \mbox{y} \ \ \ F_{m12}=k_2(x_2-x_1)$$ y sobre la masa $M_2$ actúa únicamente $$F_{m2}=-k_2(x_2-x_1)$$ Aplicando la ley de Newton a esos objetos, tendremos que $$M_1\frac{d^2x_1}{dt^2}=F_{m11}+F_{m12}=-k_1x_1+k_2(x_2-x_1) \ \ \ ,\ \ \ M_2\frac{d^2x_2}{dt^2}=F_{m2}=-k_2(x_2-x_1)$$ Este sistema se puede reducir a una sola ecuación diferencial en $x_1$ despejando $x_2$ en la primera ecuación y sustituyendo después en la expresión de $x_2$ de la segunda; la ecuación obtenida para $x_1$ es de orden 4, lineal de coeficientes constantes.