Vibraciones en sistemas mecánicos

Una masa $M$ está sujeta a una pared mediante un resorte o muelle. Este muelle ejerce sobre el objeto una fuerza de recuperación, $F_m$. Las vibraciones del objeto se producen a consecuencia de la pérdida del equilibrio del sistema; las fuerzas presentes en el sistema tenderán a recuperar el equilibrio. Dependiendo de cuáles sean esas fuerzas se presentan distintos casos:

• Vibraciones armónicas simples no amortiguadas: Supongamos que la superficie es lo suficientemente lisa como para despreciar la fuerza de rozamiento. La única fuerza presente en el sistema es la del muelle y teniendo en cuenta la Ley de Hooke, que afirma que la fuerza que actúa sobre un objeto causada por un resorte tiene una magnitud proporcional a la elongación del resorte a partir de su longitud natural y de sentido opuesto a la elongación, por tanto $$F_m=-kx$$ donde $k$ es una constante positiva que depende de la rigidez del muelle. La segunda ley de Newton establece que la fuerza total que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por su aceleración, esto es $$M\frac{d^2 x}{dt^2}=F_m$$ Llamando $a=\sqrt{k/M}$, el problema de valor inicial que modela las vibraciones del objeto es $$\frac{d^2 x}{dt^2}+a^2x=0 \ \ ,\ \ x(0)=x_0\ \ ,\ \ \frac{dx}{dt}(0)=0$$

• Vibraciones amortiguadas: En el sistema anterior consideramos una fuerza de amortiguación, $F_d$, debida al medio en que se desplaza la masa. Esta fuerza se opone al movimiento proporcionalmente a la velocidad de éste: $$F_d=-c\frac{dx}{dt}$$ donde $c$ es una constante positiva que depende de la viscosidad. La ecuación para este sistema es $$M\frac{d^2 x}{dt^2}=F_m+F_d$$ que llamando $b=c/(2M)$ y $a=\sqrt{k/M}$ se escribe $$\frac{d^2 x}{dt^2}+2b\frac{dx}{dt}+a^2x=0$$ Las condiciones iniciales son las mismas que en caso anterior. Dependiendo de la relación entre $a$ y $b$ se presentan distintas situaciones:

  • Si $b>a$, la fuerza de fricción es grande en comparación con la rigidez del muelle y en consecuencia no hay vibraciones, la función $x(t)$ es una función monótona: el objeto vuelve a su posición de equilibrio. Se dice que el movimiento es sobreamortiguado.

  • Si $b=a$, la respuesta también es monótona, volviendo la masa a su posición de equilibrio; el movimiento se denomina críticamente amortiguado.

  • Si $b<a$, la función $x(t)$ oscila con una amplitud que se reduce exponencialmente; se trata del movimiento subamortiguado.

• Vibraciones forzadas: Además de las fuerzas de recuperación y de amortiguación actúa también sobre el sistema una fuerza externa, dada por $F_e=f(t)$; por ello $$M\frac{d^2 x}{dt^2}=F_m+F_d+F_e$$ o bien $$M\frac{d^2 x}{dt^2}+ c\frac{dx}{dt}+kx=f(t)$$

Circuito eléctrico simple

Consideramos un circuito eléctrico compuesto por los cuatro elementos siguientes:

• Una fuente $E$ (pila o generador) que impulsa una carga y produce una corriente de una cierta intensidad, $I$;

• Una resistencia $R$ que se opone a la corriente; reduce a $E$ según $E_R=RI$;

• Una bobina de inductancia $L$, que se opone a cualquier cambio de la corriente; la magnitud de esta disminución es proporcional a la tasa de corriente, es decir, $E_L=L\frac{dI}{dt}$

• Un condensador de capacitancia $C$, que almacena una carga $Q$; esta carga almacenada se opone a la entrada de más, de forma que $E_C=\frac{1}{C}Q$

Según la ley de Kirchhoff, todas las fuerzas electromotrices en torno a un circuito cerrado son cero, luego $$ E=E_R+E_L+E_C \ \ \Rightarrow \ \ RI+L\frac{dI}{dt}+\frac{1}{C}Q=E$$ Además, la intensidad de la corriente, $I$, es la rapidez del flujo de carga, es decir, $$\frac{dQ}{dt}=I$$ Podemos trabajar utilizando como variable dependiente

• o bien la carga $Q$: $$L\frac{d^2Q}{dt^2}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}Q=E$$

• o bien la intensidad $I$, para lo cual derivamos $RI+L\frac{dI}{dt}+\frac{1}{C}Q=E$ respecto de $t$: $$L\frac{d^2I}{dt^2}+R\frac{dI}{dt}+\frac{1}{C}I=\frac{dE}{dt}$$

La ecuación $L\frac{d^2Q}{dt^2}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}Q=E$ es la misma que $M\frac{d^2 x}{dt^2}+ c\frac{dx}{dt}+kx=f(t)$ si establecemos los siguientes paralelismos:

Sistema mecánico	Circuito eléctrico
masa, $M$	$L$, inductancia
viscosidad, $c$	$R$, resistencia
rigidez del muelle, $k$	$\frac{1}{C}$, inversa de la capacitancia
desplazamiento, $x$	$Q$, carga en el condensador

P.v.f para el potencial electrostático

Si $E$ denota el potencial electrostático entre dos esferas metálicas concéntricas de radios $r_1$ y $r_2$ ($r_1<r_2$), donde el potencial de la esfera interior se mantiene constante en $E_1$ y el potencial de la esfera exterior, en $E_2$ voltios. El potencial $E$ sólo dependerá entonces de la distancia $r$ desde el centro de las esferas y debe satisfacer el siguiente problema $$\frac{d^2E}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{dE}{dr}=0\ \ ,\ \ \ E(r_1)=E_1\ , \ \ E(r_2)=E_2$$ donde $r_1<r<r_2$.

P.v.f para una reacción en un poro cilíndrico

En un poro cilíndrico, abierto por un extremo y cerrado por otro, se produce la reacción $$A\stackrel{k}{\rightarrow}B\ \ \ \mbox{con}\ \ \ r=kC_A^2$$ En este sistema, $A$ se difunde hacia dentro del poro debido a que la concentración de $C_A$ dentro del poro es menor que cerca de la boca del poro. Puesto que $B$ se produce por la reacción, su concentración es mayor dentro que en la entrada del poro, de manera que la difusión de $B$ es hacia fuera del poro. Si no se consideran variaciones de la concentración en la dirección radial, ésta es función sólo de la distancia a la entrada del poro (sea $x$) y el balance de moles para un elemento diferencial de volumen dentro del poro es $$D_A\frac{d^2C_A}{dx^2}=kC_A^2$$ donde $D_A$ es la constante de difusividad. Esta ecuación, ques es no lineal, se acompaña de las siguientes condiciones de frontera, $$C_A=C_{A0} \ \ \mbox{para} \ \ x=0 $$ $$\frac{dC_A}{dx}=0 \ \ \mbox{para}\ \ x=L$$ que establecen la concentración a la entrada del poro ($x=0$) y el hecho de que $A$ no sale por el extremo final ($x=L$).

P.v.f en conducción del calor unidimensional

Muchos procesos de conducción del calor pueden describirse con la ecuación $$\frac{1}{z^s}\frac{d}{dz}\left[z^sk\frac{dT}{dz}\right]=g(z)\ \ ,\ \ 0<z<1$$ donde $k$ es la conductividad térmica, $g(z)$ da la generación de calor y $s$ es el factor geométrico (0, rectangular; 1, cilíndrico; 2, esférico) Esta ecuación va acompañada con frecuencia de las condiciones de frontera siguientes $$T=T_0 \ \ \mbox{para} \ \ z=0 $$ $$ \frac{dT}{dz}+\lambda_1T=\lambda_2 \ \ \mbox{para} \ \ z=1$$ siendo $\lambda_1$ y $\lambda_2$ constantes dadas.