Método de Euler mejorado

El método de Euler da una primera aproximación de la solución del problema de valor inicial $$\left\{\begin{array}{ll} y'=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0\end{array}\right.$$ suponiendo que ese problema tiene solución única $y=y(x)$ en un intervalo centrado en $x_0$. Esa aproximación se realiza con las fórmulas recursivas $$\left\{\begin{array}{l}y_{n+1}=y_{n}+hf(x_n,y_n) \\ x_{n+1}=x_n+h\end{array}\right.\ ,\ \ n=0,\, 1,\, 2,\, \ldots$$ Una mejora de este método radica en que para estimar cada $y(x_{n+1})$ utilizaremos no sólo la pendiente en $(x_n,y_n)$, sino la media entre las pendientes en $(x_n,y_n)$ y en $(x_{n+1},y_n+hf(x_n,y_n))$; nótese que $y_n+hf(x_n,y_n)$ es el valor estimado para la solución $y(x)$ en $x_{n+1}$ por el método de Euler.

El algoritmo del método de Euler mejorado es por tanto $$\left\{\begin{array}{l} y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{2}\left[f(x_n,y_n)+f(x_n+h,y_n+hf(x_n,y_n))\right] \\ x_{n+1}=x_n+h\end{array}\right. \ ,\ \ n=0,\, 1,\, 2,\, \ldots$$