Búsqueda de una familia de curvas oblicuas a una dada
Dada una familia uniparamétrica de curvas, $\phi(x,y,C)=0$, se trata de encontrar la familia de curvas que cortan a las primeras formando siempre sus rectas tangentes un mismo ángulo, sea $\beta$. Si llamamos $y_1=y_1(x)$ a una de las curvas de la primera familia, $y_2=y_2(x)$ a una curva de la oblicua de ángulo $\beta$ y $\alpha$ es la pendiente de $y_1$, para que $y_1$ e $y_2$ se corten formando ángulo $\beta$, la pendiente de $y_2$ deberá ser $\alpha+\beta$. Como consecuencia de la igualdad trigonométrica $$\mbox{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\mbox{tg}\alpha+\mbox{tg}\beta}{1-\mbox{tg}\alpha\,\mbox{tg}\beta}$$ debe verificarse que $$y'_2=\frac{y'_1+\mbox{tg}\beta}{1-y'_1\mbox{tg}\beta}$$ Por tanto el proceso a seguir es:
En el caso en que se busquen trayectorias ortogonales, es decir, formado ángulo $\pi/2$, la igualdad trigonométrica precisa es $$\mbox{tg}(\alpha+\frac{\pi}{2})=\frac{-1}{\mbox{tg}\alpha}$$ que produce la siguiente relación entre las derivadas: $$y'_2=\frac{-1}{y'_1}$$