Ecuación exacta. Factor integrante.

• Definición de exacta: La ecuación diferencial de primer orden $$M(x,y)\, dx+N(x,y)\, dy=0$$ se dice exacta si su primer miembro es la diferencial total de una función, es decir si $$du(x,y)=M(x,y)\, dx+N(x,y)\, dy$$
• Resolución: La solución general de la ecuación exacta anterior es la familia de curvas $$u(x,y)=C$$
• Test de exactitud: Si $M(x,y)$ y $N(x,y)$ admiten derivadas parciales continuas, la ecuación $M(x,y)\, dx+N(x,y)\, dy=0$ es exacta si y sólo si $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$
• Factor integrante: La función $\mu(x,y)$ es factor integrante de la ecuación $$M(x,y)\, dx+N(x,y)\, dy=0$$ si la ecuación $$\mu(x,y)M(x,y)\, dx+\mu(x,y)N(x,y)\, dy=0$$ es exacta.