Campo de direcciones de una ecuación diferencial de primer orden

La ecuación $$y'=f(x,y)$$ fija en cada punto del plano donde $f$ está definida el valor de la pendiente de la curva $y=y(x)$. La terna $(x,y,y')$ establece la dirección de la recta que pasa por $(x,y)$ y es tangente a la curva solución $y=y(x)$. Así, la ecuación genera un campo de direcciones; la representación gráfica de este campo mediante pequeños segmentos situados en una muestra de puntos del plano es lo que se suele llamar campo de direcciones de la ecuación diferencial.

El campo de direcciones de la ecuación proporciona un mapa aproximado de las soluciones, pues al representar sus tangentes plasma gráficamente cómo van cambiando estas soluciones. Además, facilita el trazado de una solución particular, al menos de forma aproximada; esta aproximación es en ocasiones suficiente, como por ejemplo si únicamente fuera de interés el comportamiento de la solución en cuanto a monotonía y concavidad.