Halla la ecuación diferencial de primer orden cuya solución general es la familia uniparamétrica dada en cada caso. Después intenta comprobar tu resultado utilizando el comando dsolve.
$y=Ce^{-2x}+2x-x^3-7$
$y=C\cos 3x-1/x$
$x^2-2y^2=Cy$
$x^2-2y^2=Cxy$
Resolución del primer apartado
Paso 1
Derivar la expresión $y=Ce^{-2x}+2x-x^3-7$ una vez respecto de $x$:
$$y'=-2Ce^{-2x}+2-3x^2$$
y esta es la ecuación diferencial buscada.
Eso es correcto.
Eso no es correcto.
No es correcto, pues debemos buscar una relación entre las variables $x$, $y$ y la derivada de una respecto de la otra, eliminando la constante $C$ de la familia.
En efecto, esa no es la ecuación cuya solución general es la familia dada. Para encontrarla debemos eliminar el parámetro $C$ de entre las dos expresiones, la de la familia y la de la derivada. Hazlo tú y pulsa en 'Continuar'.
Paso 2
Eliminar el parámetro:
Las operaciones son sencillas si multiplicamos por 2 la expresión de la familia y le sumamos la de la derivada:
$$2y=2Ce^{-2x}+4x-2x^3-14$$
$$y'=-2Ce^{-2x}+2-3x^2$$
$$\Rightarrow \hspace{.2cm} y'+2y=-2x^3+4x-3x^2-12$$
Paso 3
Comprobación en el ordenador: para encontrar la solución general de la ecuación $$y'+2y=-2x^3+4x-3x^2-12$$ pondremos
dsolve('Dy+2*y=-2*x^3+4*x-3*x^2-12','x')
de cuya ejecución resulta
2*x - x^3 + C2/exp(2*x) - 7
Resolución del segundo apartado
Paso 1
Derivar la expresión $y=C\cos 3x-1/x$ una vez respecto de $x$:
$$y'=-3C\mbox{sen}\, 3x+\frac{1}{x^2}$$
Paso 2
Eliminar el parámetro: inténtalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
Hay muchas formas de eliminar el parámetro; por ejemplo, podemos despejar $C$ de la primera e introducirlo en la expresión de la derivada:
$$y=C\cos 3x-1/x \hspace{.2cm} \Rightarrow\hspace{.2cm} C=\left(y+\frac{1}{x}\right)\frac{1}{\cos 3x}$$
$$\Rightarrow\hspace{.2cm} y'=-3\left(y+\frac{1}{x}\right)\frac{\mbox{sen}\, 3x}{\cos 3x}+\frac{1}{x^2}$$
de donde $$y'+3y\,\mbox{tg}\, 3x=\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}\mbox{tg}\, 3x$$
Paso 3
Comprobación en el ordenador: para encontrar la solución general de la ecuación $$y'+3y\,\mbox{tg}\, 3x=\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}\mbox{tg}\, 3x$$ pondremos
dsolve('dy+3*y*tan(3*x)=1/x^2-3*tan(3*x)/x','x')
dsolve('Dy+3*y*tan(3*x)=1/x^2-3*tan(3*x)/x')
dsolve('Dy+3*y*tan(3*x)=1/x^2-3*tan(3*x)/x','x')
No está bien escrita la derivada de $y$.
Por defecto, el programa asume que la variable independiente es $t$, luego te tomará la $x$ como un parámetro si no la asignas como variable independiente.
En efecto, esa es la forma correcta.
Resolución del tercer apartado
Paso 1
Derivar la expresión $x^2-2y^2=Cy$ una vez respecto de $x$:
$2x-4y=Cy'$
Ninguna de las dos propuestas es correcta.
$2x-4yy'=Cy'$
No está bien derivado, puesto que $y$ es función de $x$.
Hay una correcta.
En efecto, esa es la derivación correcta.
Paso 2
Eliminar el parámetro: de la expresión de la familia obtenemos
$$C=\frac{x^2}{y}-2y$$
que introducido en la expresión derivada resulta
$$y'\left(\frac{x^2}{y}-2y+4y\right)=2x$$
o bien $$y'=2\frac{xy}{x^2+2y^2}$$
Paso 3
Comprobación en el ordenador: para encontrar la solución general de la ecuación $$y'=2\frac{xy}{x^2+2y^2}$$ pondremos
dsolve('Dy=2*x*y/(x^2+2*y^2)','x')
Cuando lo ejecutes, obtendrás tres soluciones particulares y dos familas. Esas dos familias son
$$y=\frac{1}{2}\left(e^{C_1}+x\sqrt{\frac{2x^2+e^{2C_1}}{x^2}}\right)$$
e
$$y=\frac{x}{2}\left(e^\left( ({C_1}-\log x) \right)-\sqrt{e^{2C_1-2\log x}+2}\right)$$
que podemos escribir como
$$y=\frac{C_2}{2}+\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{C_2^2}{4}}\hspace{1cm}\mbox{e}\hspace{1cm} y=\frac{C_2}{2}-\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{C_2^2}{4}}$$
Si de la expresión de la familia original, $x^2-2y^2=Cy$, despejamos $y$ en función de $x$ mediante la fórmula cuadrática
$$y=-\frac{C}{4}\pm\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{C^2}{16}}$$
vemos que reúne las dos expresiones anteriores, tomando $C=-2C_2$
Resolución del cuarto apartado
Paso 1
Derivar la expresión $x^2-2y^2=Cxy$ una vez respecto de $x$:
$2x-4yy'=Cy$
$2x-4yy'=Cxy'$
Ninguna de las dos propuestas es correcta.
No está bien derivado puesto que, en $Cxy$, la $y$ es función de $x$.
No está bien derivado, puesto que $Cxy$ es un producto de dos funciones de $x$.
En efecto, ninguna de las dos es correcta. La derivada correcta es ... pulsa en 'continuar' cuando la tengas.
En efecto, derivando $x^2-2y^2=Cxy$ obtendremos
$$2x-4yy'=Cy+Cxy'$$
Paso 2
Eliminar el parámetro: de la expresión de la familia obtenemos
$$C=\frac{x}{y}-2\frac{y}{x}$$
Introdúcelo en la expresión de la derivada para obtener la ecuación diferencial. Pulsa en 'Ver' cuando la tengas.
Ver
Una vez introducida la expresión de $C$ en la de $y'$, nos debe quedar una ecuación en $x$, $y$ e $y'$, que operaremos un poco, para llegar a
$$y'=\frac{y}{x}$$
que es la ecuación diferencial cuya solución general es la familia dada: $x^2-2y^2=Cxy$.
Observación: La ecuación diferencial obtenida es muy sencilla y si la escribimos como $$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$$ fácilmente vemos que la solución general tiene la forma $$y=kx$$ ¿Cómo puede ser esto?
Nos hemos equivocado al encontrar la ecuación diferencial.
$y=kx$ no es la solución general de la ecuación.
No hay ninguna equivocación, pues las dos familias son la misma.
La ecuación diferencial es la correcta, puedes comprobarlo derivando y sustituyendo.
$y=kx$ sí es la solución general.
En efecto, no hay ninguna equivocación pues las dos familias son la misma, pero expresada de forma diferente:
$$2y^2+Cxy-x^2=0 \hspace{1cm}\Rightarrow \hspace{1cm} y=\frac{-Cx\pm\sqrt{C^2x^2+8x^2}}{4}=
\frac{-Cx\pm\sqrt{C^2+8}|x|}{4}=kx$$
Paso 3
Comprobación en el ordenador: para encontrar la solución general de la ecuación $$y'=\frac{y}{x}$$ pondremos
dsolve('Dy=y/x','x')
que nos da como respuesta
C4*x
que es como comentábamos antes, una forma más sencilla de escribir nuestra familia.