Ejercicios preliminares e instantáneos. E.d.o. de primer orden

Ejercicio 1

Verdadero o falso:
  1. si $y(x)=x^2$, se tiene que $y'(2)=4$; por tanto la función $y(x)=x^2$ es solución de la e.d. $y'(x)=4$
  2. si $y(x)$ cumple que $y'(2)=2$, entonces debe ser de la familia $y(x)=2x+C$
  3. si $y(x)$ cumple que $y'(x)=2$ en todo un intervalo real, entonces debe ser de la familia $y(x)=2x+C$ (al menos en ese intervalo)
Solución
  1. falso, la solución de $y'(x)=4$ debe tener derivada igual a $4$ para todo $x$ real, no sólo en un valor de $x$;
  2. falso, sí es cierto que todas las funciones de la forma $y(x)=2x+C$ cumplen que $y'(2)=2$, pero no es cierto el recíproco; hay infinitas funciones que cumplen que la derivada en $x=2$ es 2. Como ejemplo, puedes ver cuatro de ellas en la siguiente figura, todas sus gráficas tienen pendiente 2 en los puntos correspondientes a $x=2$:

    Gráfica

  3. verdadero, las únicas funciones que en un intervalo tienen la derivada constantemente igual a 2 son las que en ese intervalo valen $2x+C$.

Ejercicio 2

Comprueba que la función indicada es solución de la ecuación que la acompaña
  1. función: $y=e^x+3x$, ecuación: $y'=y-3x+3$
  2. función: $y=e^x+3x$, ecuación: $xy'=e^x(x-1)+y$
  3. función: $x=4-e^{-t}$, ecuación: $x'+x=4$
  4. función: $x=t\, \log t$, ecuación: $x't-x=t$
Pista
Sólo tienes que derivar la función respecto de su variable independiente y luego sustituir en la ecuación la función y la derivada, para comprobar que te sale una identidad.

Ejercicio 3

Para cada una de las ecuaciones siguientes, halla los valores de $A$ (si hay alguno) para los cuales $y=Ae^{-t}$ es solución
  1. $y'+3y=e^{-t}$
  2. $y'-2y=e^{-t}$
  3. $y'+y=e^{-t}$
Pista
Solución
Sustituye la función $y=Ae^{-t}$ y su derivada $y'=-Ae^{-t}$ en la ecuación y determina $A$ para que se verifique la igualdad.
  1. $A=1/2$
  2. $A=-1/3$
  3. no existe ningún valor de $A$ que lo cumpla, la ecuación $y'+y=e^{-t}$ no admite solución de la forma $y=Ae^{-t}$.

Ejercicio 4

¿Tienen las dos ecuaciones siguientes las mismas soluciones? (No hay que encontrar todas las soluciones) $$\frac{dx}{x}=\frac{1+y}{1-y}\, dy\ \ \ \ ,\ \ \ \ (1-y)\, dx+x(1+y)\, dy=0$$
Pista
Solución
Ten en cuenta los denominadores.
No tienen las mismas soluciones, pues $y=1$ y $x=0$ son soluciones de la segunda y no lo son de la primera.

Ejercicio 5

La ecuación $$\frac{dy}{dx}=y^3+y$$ tiene infinitas soluciones de la forma $$x=C+\log \frac{|y|}{\sqrt{1+y^2}}\ \ \ , \ \ \ C\in {\bf R}$$ pero también tiene una solución que no es de esa familia. ¿Cuál?
Pista
Solución
Para llegar a la forma de esas infinitas soluciones hemos integrado $\frac{dy}{y^3+y}=dx$; para obtener esa igualdad hemos dividido por $y^3+y$.
La función $y=0$ es solución de la ecuación $\frac{dy}{dx}=y^3+y$ y no es de la familia dada.

Ejercicio 6

En cada caso, analiza la monotonía de las soluciones de la ecuación sin resolver la ecuación
  1. $y'=x^2e^y$
  2. $y'=x^2+y$
  3. $y'=-e^{x+y}$
  4. $y'=x^2+y^2$
Pista
Solución
Recuerda que una función decrece donde su primera derivada sea negativa y crece donde ésta sea positiva.
  1. todas las soluciones de la ecuación $y'=x^2e^y$ son siempre crecientes; la figura es ilustrativa, para hacerla sí se ha resuelto la ecuación:

    Gráfica

  2. las soluciones de la ecuación $y'=x^2+y$ son decrecientes en $y<-x^2$ y crecientes en $y>-x^2$; en la figura puedes ver una muestra de las soluciones de esta ecuación y apreciar cómo la curva $y=-x^2$ (en trazo negro discontinuo) separa la región donde las soluciones crecen de la región donde decrecen; cuando las soluciones se cortan con $y=-x^2$ tienen sus extremos:

    Gráfica

  3. todas las soluciones de la ecuación $y'=-e^{x+y}$ son siempre decrecientes:

    Gráfica

  4. todas las soluciones de la ecuación $y'=x^2+y^2$ son siempre crecientes.

Ejercicio 7

En cada uno de los siguientes apartados comprueba que la segunda derivada de las soluciones de la ecuación cumple la expresión indicada y analiza la existencia de puntos de inflexión en las soluciones de la ecuación
  1. ecuación: $y'=x^2e^y$, expresión de la derivada segunda: $y''=xe^y(2+x^3e^y)$
  2. ecuación: $y'=x^2+y$, expresión de la derivada segunda: $y''=2x+x^2+y$
  3. ecuación: $y'=-e^{x+y}$, expresión de la derivada segunda: $y''=e^{x+y}(e^{x+y}-1)$
Pista
Solución
Recuerda que si $(x_0,y_0)$ es un punto de inflexión de $y=y(x)$, entonces $y''(x_0)=0$.
  1. los puntos de inflexión están en los puntos correspondientes a $x=0$ y a los cortes de las soluciones con $y=\log(-2/x^3)$; en la figura puedes ver un tramo de la gráfica de esa función en línea roja discontinua y apreciar cómo las soluciones de la ecuación cambian su tipo de concavidad cuando se cortan con ella:

    Gráfica

  2. los puntos de inflexión de las soluciones de $y'=x^2+y$ están en los puntos $(x,y)$ que cumplen $y=-x^2-2x$; en la figura la gráfica de esta parábola de ha dibujado en trazo discontinuo rojo; puedes apreciar cómo las soluciones son convexas cuando están bajo $y=-x^2-2x$ y cómo tienen sus puntos de inflexión precisamente en los punto de corte con $y=-x^2-2x$:

    Gráfica

  3. las soluciones de $y'=-e^{x+y}$ no tienen puntos de inflexión, puesto que el lugar geométrico donde se anula la segunda derivada ($y=-x$) es una curva solución (en la figura, la curva de color azul claro); ya que $f(x,y)=e^{x+y}$ es una función continua y $f'_y(x,y)$ también lo es, las soluciones no se cortan entre sí, así que en particular las soluciones no pasan por la curva donde su derivada segunda se anula. Las soluciones de esta ecuación son o bien siempre convexas (las que están bajo $y=-x$) o bien siempre cóncavas (las que están sobre $y=-x$):

    Gráfica

Ejercicio 8

Si $y=y(x)$ es solución del p.v.i. $y'=2x(y+e^{x-1})$, $y(1)=0$, halla los valores $y'(1)$, $y''(1)$ e $y'''(1)$ (Se entiende que sin encontrar $y(x)$).
Pista
Solución
Si la ecuación $y'=2x(y+e^{x-1})$ se cumple para cualquier $x$, obviamente también para $x=1$; de ahí sacaremos el valor $y'(1)$; para los siguientes órdenes basta ir derivando la ecuación y utilizando los valores obtenidos anteriormente.
$y'(1)=2$, $y''(1)=8$, $y'''(1)=30$

Ejercicio 9

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son de variables separables?
  1. $y'=x+y$
  2. $\frac{dC}{dt}=t\, C(t)$
  3. $(3+x^2)rr'=x$
  4. $(u+2v)\, du=uv^2\, dv$
Pista
Solución
Una ecuación es de variables separables si puede escribirse como $$f_1(x)g_1(y)\, dx=f_2(x)g_2(y)\, dy$$, que es equivalente a las tres ecuaciones siguientes: $$\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\, dx=\frac{g_2(y)}{g_1(y)}\, dy ,\hspace{.3cm} f_2(x)=0,\hspace{.3cm} g_1(y)=0$$
  1. $y'=x+y$ no es de variables separables;
  2. $\frac{dC}{dt}=t\, C(t)$ es de variables separables;
  3. $(3+x^2)rr'=x$ es de variables separables;
  4. $(u+2v)\, du=uv^2\, dv$ no es de variables separables.

Ejercicio 10

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? (Si no lo es para $C(r)$, prueba si lo es para $r(C)$)
  1. $r\,C'(r)+C(r)=r\, \mbox{sen}\, r$
  2. $r\,C'(r)+\frac{r}{C(r)}=2$
  3. $\frac{dC}{dr}=\frac{1}{C-rC^3+2}$
Pista
Solución
Una ecuación de primer orden lineal en $y(x)$ puede escribirse de la forma $$y'(x)+p(x)y(x)=q(x)$$
  1. $r\,C'(r)+C(r)=r\, \mbox{sen}\, r$ es lineal en $C(r)$: $$C'(r)+\frac{C(r)}{r}=\mbox{sen}\, r$$
  2. $r\,C'(r)+\frac{r}{C(r)}=2$ no es lineal en $C(r)$ ni en $r(C)$;
  3. $\frac{dC}{dr}=\frac{1}{C-rC^3+2}$ no es lineal en $C(r)$ pero sí lo es en $r(C)$: $$\frac{dr}{dC}+C^3 r=C+2$$

Ejercicio 11

En cada caso ¿es la curva indicada una isoclina de la ecuación que la acompaña? En caso afirmativo, di a qué pendiente corresponde:
  1. curva: $y=1-x^3$, ecuación: $y'=y+x^3$
  2. curva: $y=1+x^3$, ecuación: $y'=y+x^3$
  3. curva: $y=\frac{1}{2}\,\mbox{sen}\, x$, ecuación: $2y-y'=\mbox{sen}\, x$
  4. curva: $y=1+\frac{1}{2}\,\mbox{sen}\, x$, ecuación: $2y-y'=\mbox{sen}\, x$
Pista
Solución
Dada la ecuación $y'=f(x,y)$, la isoclina correspondiente a la pendiente $\alpha$ es el lugar geométrico de los puntos del plano en los que la pendiente de las curvas solución $y=y(x)$ vale $\alpha$.
  1. $y=1-x^3$ es la isoclina de la ecuación $y'=y+x^3$ correspondiente a pendiente $\alpha=1$; en la figura puedes ver una muestra de las soluciones de la ecuación y la gráfica de $y=1-x^3$ en trazo discontinuo; donde las soluciones se cortan con ella, su pendiente es 1 (en la figura no se toma igual escala en ambos ejes pues las soluciones toman valores muy grandes respecto a sus abscisas, así que la pendiente no es real, pero sí apreciamos que es la misma pendiente en todos los cortes con la isoclina):

    Gráfica

  2. $y=1+x^3$ no es isoclina de la ecuación $y'=y+x^3$ pues no es de la familia $y=\alpha-x^3$;
  3. $y=\frac{1}{2}\,\mbox{sen}\, x$ es la isoclina de la ecuación $2y-y'=\mbox{sen}\, x$ correspondiente a pendiente $\alpha=0$; en la figura puedes apreciar cómo cuando las soluciones cortan a $y=\frac{1}{2}\,\mbox{sen}\, x$ ( en trazo negro discontinuo) tienen pendiente igual a 0:

    Gráfica

  4. $y=1+\frac{1}{2}\,\mbox{sen}\, x$ es la isoclina de la ecuación $2y-y'=\mbox{sen}\, x$ correspondiente a pendiente $\alpha=2$; en la figura puedes apreciar que en los puntos de corte de las soluciones con $y=1+\frac{1}{2}\,\mbox{sen}\, x$ ( en trazo negro discontinuo) la pendiente es siempre la misma:

    Gráfica

Ejercicio 12

Si $y_0=g(x_0)$, la recta tangente a la gráfica de $y=g(x)$ en $(x_0,y_0)$ es
  1. $y=y_0+g'(x)(x-x_0)$
  2. $y=g'(x_0)(x-x_0)-y_0$
  3. $y=y_0-x_0+g'(x_0)x$
  4. $y=y_0+g'(x_0)(x-x_0)$
Solución
La recta tangente a la gráfica de $y=g(x)$ en $(x_0,y_0)$ es $$y=y_0+g'(x_0)(x-x_0)$$ si $y_0=g(x_0)$.

Ejercicio 13

Un problema de valor inicial (p.v.i.) está compuesto por una ecuación diferencial y un dato o condición inicial que debe cumplir la solución.

Sea $y=y(x)$ la solución del p.v.i. $$y'=f(x,y) \hspace{1cm}, \hspace{1cm} y(x_0)=y_0$$ Supongamos que $y(x)$ es desconocida, pues no se ha resuelto analíticamente el p.v.i. Analiza la certeza o falsedad de las siguientes afirmaciones:

  1. podemos escribir la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $y=y(x)$ en cualquier punto de su dominio
  2. podemos escribir la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $y=y(x)$ en el punto $(x_0,y_0)$
  3. la recta tangente a la gráfica de $y=y(x)$ en el punto $(x_0,y_0)$ es $y=y_0+f(x_0,y_0)(x-x_0)$.
Solución
  1. es falsa, pues para escribir la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $y=y(x)$ en un punto de su dominio son necesarios los valores de $y$ y de $y'$ en la abscisa de ese punto;
  2. es cierta, pues tenemos todos los datos necesarios;
  3. es cierta, pues al ser $y=y(x)$ sabemos que $y'(x_0)=f(x_0,y(x_0))$ y por cumplirse la condición $y(x_0)=y_0$ podemos escribir $y'(x_0)=f(x_0,y_0)$.

Ejercicio 14

Halla la ordenada correspondiente a $x=x_0+0.1$ de la recta tangente en $(x_0,y_0)$ de la solución del p.v.i. dado
  1. $y'=e^{x^2}y+x$, $x_0=0$, $y(0)=y_0=1$
  2. $y'=x^2\, \cos(xy)$, $x_0=\pi/2$, $y(\pi/2)=y_0=2$
  3. $y'=1-y^2$, $x_0=1$, $y(1)=y_0=1/\sqrt{2}$
Pista
Solución
Ten en cuenta que si $y=y(x)$ es la solución del p.v.i. $y'=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $y=y(x)$ en el punto $(x_0,y_0)$ es $y=y_0+f(x_0,y_0)(x-x_0)$.
  1. la recta tangente a la solución de $y'=e^{x^2}y+x$, $y(0)=1$ es $$y=x+1$$ luego su ordenada para $x=0.1$ es $y=1.1$:

    Gráfica

  2. la recta tangente a la solución de $y'=x^2\, \cos(xy)$, $y(\pi/2)=2$ es $$y=2-\frac{\pi^2}{4}(x-\frac{\pi}{2})$$ luego su ordenada para $x=\pi/2+0.1$ es $y=2-\frac{\pi^2}{40}$;
  3. la recta tangente a la solución de $y'=1-y^2$, $y(1)=1/\sqrt{2}$ es $$y=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}(x-1)$$ luego su ordenada para $x=1.1$ es $y=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{20}\approx 0.7571$:

    Gráfica

Ejercicio 15

Si las variables $x$ y $t$ cumplen la relación indicada, escribe la derivada de $y=y(x)$ respecto de $x$ en función de la derivada respecto de $t$
  1. $x=e^t$
  2. $x=t^2$
  3. $x=1/t$
Pista
Solución
Recuerda que $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$$
  1. $$\frac{dy}{dx}=e^{-t}\frac{dy}{dt}$$
  2. $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2t}\frac{dy}{dt}$$
  3. $$\frac{dy}{dx}=-t^2\frac{dy}{dt}$$

Ejercicio 16

Si $y(t)$ y $z(t)$ cumplen la relación indicada, escribe la relación entre las derivadas $\frac{dy}{dt}$ y $\frac{dz}{dt}$
  1. $y=1/z$
  2. $y=z^3$
  3. $z=\mbox{tg} \, y$
Pista
Solución
Si las variables $y$ y $z$ se relacionan por $y=f(z)$, entonces sus derivadas respecto de $t$ se relacionan según $$\frac{dy}{dt}=\frac{df}{dz}\frac{dz}{dt}$$
  1. $$\frac{dy}{dt}=\frac{-1}{z^2}\frac{dz}{dt} \hspace{1cm} \mbox{o bien} \hspace{1cm} \frac{dz}{dt}=\frac{-1}{y^2}\frac{dy}{dt}$$
  2. $$\frac{dy}{dt}=3z^2\frac{dz}{dt}\hspace{1cm} \mbox{o bien} \hspace{1cm} \frac{dz}{dt}=\frac{1}{3y^{2/3}}\frac{dy}{dt}$$
  3. $$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{1+z^2}\frac{dz}{dt} \hspace{1cm} \mbox{o bien} \hspace{1cm}\frac{dz}{dt}=(1+\mbox{tg}^2y)\frac{dy}{dt}$$

Ejercicio 17

  1. Las variables $x$ y $t$ se relacionan por $$x=e^t$$ y las variables $y$ y $z$ por $$y=1/z$$ Escribe la derivada de $y$ respecto de $x$ en función de la derivada de $z$ respecto de $t$.
  2. Repite el apartado anterior para $x=t^2$, $y=z^3$
  3. Idem para $x=1/t$, $z=\mbox{tg} \, y$
Pista
Solución
Este ejercicio combina los dos anteriores ya que puedes escribir la derivada de $y$ respecto de $x$ en función de la derivada de $z$ respecto de $t$ en dos pasos: primero expresa la derivada de $y$ respecto de $x$ en función de la derivada de $y$ respecto de $t$ y luego expresa esa derivada en función de la de $z$ respecto de $t$.
  1. $$\frac{dy}{dx}=\frac{-e^{-t}}{z^2}\frac{dz}{dt}$$
  2. $$\frac{dy}{dx}=\frac{3z^2}{2t}\frac{dz}{dt}$$
  3. $$\frac{dy}{dx}=\frac{-t^2}{1+z^2}\frac{dz}{dt}$$