Primeras definiciones

Una ecuación diferencial de primer orden relaciona una variable independiente con una dependiente de ella y la derivada de ésta respecto de la primera. Podemos encontrar esa relación expresada de distintas formas:

Definición (Formas implícita, explícita y diferencial de una e.d.o primer orden).- La forma implícita de una e.d.o. de primer orden es: $$F(x,y,y')=0$$ Si de esta ecuación se puede despejar $y'$ resulta la forma explícita: $$y'=f(x,y)$$ Teniendo en cuenta que $y'=\frac{dy}{dx}$, también encontramos la e.d.o. de primer orden escrita en forma diferencial: $$M(x,y)\, dx+N(x,y)\, dy=0$$

Definición(Solución general).- La solución general de una ecuación diferencial de primer orden es una familia uniparamétrica de funciones $$y=\phi(x,C)$$ donde $C$ es un parámetro real; para cada valor de $C$ se obtendrá una solución particular de la ecuación.

Una solución se dice singular si no se puede escribir como una de la familia $y=\phi(x,C)$.

Problemas de valor inicial. Teorema de existencia

Definición(Problema de valor inicial).- Un problema de valor inicial de primer orden es $$\left\{\begin{array}{ll} F(x,y,y')=0\\ y(x_0)=y_0\end{array}\right.\ \ \ \mbox{o}\ \ \ \left\{\begin{array}{ll} y'=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0\end{array}\right.$$ y se resuelve (también se dice integra) encontrando la función de la familia $y=\phi(x,C)$ cumpliendo que $y(x_0)=y_0$.

Geométricamente, la familia solución general de la ecuación $$y'=f(x,y)$$ es el conjunto de curvas en las que se cumple que la pendiente en un punto es el valor de la función $f$ en ese punto. De esas curvas, la que pasa por el punto $(x_0,y_0)$ es la solución del problema de valor inicial.

Dada una ecuación diferencial, es importante poder analizar si dado un punto $(x_0,y_0)$ existe una solución que pasa por ese punto y si esa solución es única. Contamos con el siguiente resultado:

TEOREMA de existencia y unicidad:
Dada la ecuación $y'=f(x,y)$, con $f$ definida en $D=[a,b]\times[c,d]$, $a<x_0<b$, $c<y_0<d$, si $f$ y $f'_y$ son continuas en $D$, entonces existe una solución única de la ecuación cumpliendo que $y(x_0)=y_0$; esta solución única del problema de valor inicial está definida en un intervalo centrado en $x_0$.

Campo de direcciones e isoclinas

La ecuación $y'=f(x,y)$ fija el valor de la pendiente de la curva $y=y(x)$ en cada punto del plano donde $f$ esté definida. La terna $(x,y,y')$ establece la dirección de la recta que pasa por $(x,y)$ y es tangente a la curva solución $y=y(x)$.

Definición(Campo de direcciones).- La ecuación $y'=f(x,y)$ genera un campo de direcciones; la representación gráfica de este campo mediante pequeños segmentos situados en una muestra de puntos del plano es lo que se suele llamar campo de direcciones de la ecuación diferencial.

El campo de direcciones de la ecuación proporciona un mapa aproximado de las soluciones, pues al representar sus tangentes plasma gráficamente cómo van cambiando estas soluciones. Además, facilita el trazado de una solución particular, al menos de forma aproximada; esta aproximación es en ocasiones suficiente, como por ejemplo si únicamente fuera de interés el comportamiento de la solución en cuanto a monotonía y concavidad.

Para facilitar el trazado del campo de direcciones suelen utilizarse las curvas en las que la pendiente permanece constante, al ser paralelos sobre sus puntos todos los segmentos que pintemos.

Definición(Isoclina).- Una isoclina de la ecuación $y'=f(x,y)$ es la curva dada por $f(x,y)=C$ y es el lugar geométrico de los puntos del plano donde la pendiente de las curvas solución $y=y(x)$ vale $C$.

Dando a $C$ un número suficiente de valores próximos podremos dibujar una red de isoclinas que permita representar el campo de direcciones. Uniendo un número finito de los segmentos del campo obtenemos una aproximación gráfica, en forma de poligonal, de la solución particular que se precise.