Ecuaciones lineales

Definición(Ecuación lineal).- Una e.d.o lineal de primer orden en $y(x)$ es de la forma $$y'(x)+p(x)y(x)=q(x)$$

Definición(Ecuación completa/homogénea).- Una ecuación lineal se dice completa si $q(x)\neq 0$ y se llama homogénea si $q(x)= 0$.

Cada ecuación lineal completa tiene su ecuación homogénea asociada: $$y'(x)+p(x)y(x)=0$$ Toda ecuación lineal homogénea es de variables separables y como tal podemos encontrar su solución general.

TEOREMA: La solución general de una completa es la suma de la solución general de su homogénea asociada con una de sus soluciones particulares $$y_g=y_h+y_p$$ Esto se comprueba demostrando que la resta de dos soluciones particulares de la ecuación completa es solución de la homogénea asociada.

Para la resolución de la ecuación lineal completa podemos seguir tres métodos:

Método de variación de constantes

Este método se basa en que cada ecuación lineal completa tiene su ecuación homogénea asociada y en que la solución general de una completa es la suma de la solución general de su homogénea asociada con una de sus soluciones particulares. Así pues, para hallar la solución general de la completa ($y_g$) procederemos de la siguiente manera

1. Resolución de la homogénea: como se comentó, todas las e.d.o lineales homogéneas son de variables separables, luego $$y'_h=-p(x)y_h\ \ \Rightarrow\ \ y_h=Ce^{g(x)}\ \ C\in{\bf R}$$ donde $$g(x)=-\int p(x)\, dx$$ La única dificultad puede venir del cálculo de primitivas necesario en la resolución.

2. Búsqueda de una solución particular de la completa ($y_p$) convirtiendo en función la constante de la familia uniparamétrica de soluciones de la homogénea asociada: $$y_h=Ce^{g(x)}\ \ \Rightarrow\ \ y_p=C(x)e^{g(x)}$$ después derivamos e imponemos que se verifique la ecuación $$y'_p=e^{g(x)}(C'(x)-C(x)p(x)) \ \ \Rightarrow\ \ y'_p+p(x)y_p=C'(x)e^{g(x)}=q(x)$$ de aquí se despeja $C'(x)$ y se obtiene $C(x)$ por integración.

Método de coeficientes indeterminados

Este método sólo puede utilizarse si $p(x)$ es constante. Como en el método anterior, construimos la solución general de la completa como la suma de la solución general de la homogénea y una particular de la completa. En este caso la solución particular se busca en base a la forma del término independiente de la ecuación, teniendo en cuenta que ninguno de los sumandos de la particular propuesta sea solución de la ecuación homogénea asociada.

Método del factor integrante

Se desarrolla siguiendo las siguientes fases

1. Hallar la primitiva del coeficiente $p(x)$: $$P(x)=\int p(x)\, dx$$

2. Multiplicar la ecuación por el factor $\mu(x)=e^{P(x)}$: $$[y'(x)+p(x)y(x)]\mu(x)=q(x)\mu(x)$$

3. Observar que esta expresión se puede escribir como $$\frac{d}{dx}[y(x)\mu(x)]=q(x)\mu(x)$$

4. Por tanto su solución general es $$y(x)\mu(x)=\int q(x)\mu(x)\, dx$$ o bien $$y(x)=e^{-P(x)}\int q(x)e^{P(x)}\, dx$$ Es importante no olvidar sumar la constante de integración en la primitiva anterior. Si no se añade no se obtendrá la solución general, sino únicamente una solución particular de la ecuación.