Ecuaciones homogéneas

Definición(Función homogénea).- Una función $f(x,y)$ se dice homogénea de grado $n$ en sus argumentos si $$f(tx,ty)=t^nf(x,y)$$ para cualquier $t$.

Es conveniente observar que una función $f(x,y)$ es homogénea de grado 0 si y sólo si es función de la razón $y/x$ (o $x/y$): $$f(x,y)=f(x,x\frac{y}{x})=x^0f(1,\frac{y}{x})=\phi(\frac{y}{x})$$

Definición(Ecuación homogénea).- La ecuación $y'=f(x,y)$ es homogénea si la función $f(x,y)$ es homogénea de grado 0 en sus argumentos. Una ecuación expresada en forma diferencial, $M(x,y)\, dx+ N(x,y)\, dy=0$, es homogénea si $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son homogéneas del mismo grado.

RESOLUCIÓN: Estas ecuaciones se resuelven reduciéndolas a ecuaciones de variables separables mediante el cambio de variable $$z=\frac{y}{x}$$

Ecuaciones reducibles a homogéneas

Incluimos aquí dos tipos de ecuaciones que se reducen a homogéneas mediante un cambio de variable:

• Ecuaciones reducibles a homogéneas mediante la sustitución $y=z^\alpha$.

• Ecuaciones del tipo $$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right)$$ siendo $a_i$, $b_i$, $c_i$ constantes. En caso de que $\frac{a_1}{a_2}\neq \frac{b_1}{b_2}$, esta ecuación se transforma en homogénea mediante el cambio de variable $$\left\{\begin{array}{l}u=x-x_0 \\ v=y-y_0\end{array}\right.$$ siendo $(x_0,y_0)$ el punto de corte entre las rectas $a_1x+b_1y+c_1=0$ y $a_2x+b_2y+c_2=0$. Si $\frac{a_1}{a_2}= \frac{b_1}{b_2}$ estas rectas son paralelas, y la ecuación se convierte directamente en una de variables separables mediante el cambio $z=a_1x+b_1y$.