Ecuaciones exactas

Definición(Ecuación exacta).- La e.d.o $$M(x,y)\, dx+N(x,y)\, dy=0$$ es una ecuación exacta si existe una función $u(x,y)$ tal que $$du(x,y)=M(x,y)\, dx+N(x,y)\, dy$$

Si esto es así, se tendrá que $$M(x,y)\, dx+N(x,y)\, dy=0\ \ \Rightarrow\ \ du(x,y)=0$$ con lo cual la solución general de la ecuación será la familia uniparamétrica $$u(x,y)=C$$

En base a que si $u(x,y)$ es una función diferenciable entonces $du=u'_x\, dx+u'_y\, dy$ y al teorema sobre igualdad de derivadas parciales segundas cruzadas, se tiene el siguiente test de exactitud:

TEST DE EXACTITUD: La ecuación $M(x,y)\, dx+N(x,y)\, dy=0$ es exacta si y sólo si $$M'_y(x,y)=N'_x(x,y)$$

La exactitud de una ecuación ocurre porque existe una función $u(x,y)$ tal que $$u'_x(x,y)=M(x,y) \ \ ,\ \ u'_y(x,y)=N(x,y)$$ y puesto que la solución general de la ecuación es $u(x,y)=C$, debemos hallar $u(x,y)$ realizando los siguientes pasos:

• integrar $M(x,y)$ respecto de $x$ $$u'_x(x,y)=M(x,y)\ \ \Rightarrow\ \ u(x,y)=\int M(x,y)\, dx+C(y)$$

• derivar respecto de $y$ la expresión obtenida para $u(x,y)$ e igualar a $N(x,y)$ para despejar $C'(y)$ $$u'_y(x,y)=N(x,y)\ \ \Rightarrow\ \ C'(y)=\ldots$$

• integrar $C'(y)$ respecto de $y$.

Como es obvio, este proceso se puede igualmente comenzar integrando $N$ respecto de $y$ para luego derivar el resultado respecto de $x$.

Factores integrantes

Definición(Función integrante).- La función $\mu(x,y)$ es un factor integrante de $M(x,y)\, dx+N(x,y)\, dy=0$ si es exacta la ecuación $$\mu(x,y)M(x,y)\, dx+\mu(x,y)N(x,y)\, dy=0$$ La solución general de esta última es la solución general de la ecuación inicial.