Ejercicio

Raíces quintas de   $\frac{1+2i}{2-i}$

Se calcula en primer lugar el cociente:

$z=\frac{1+2i}{2-i}=\frac{\left(1+2i\right)\left(2+i\right)}{\left(2-i\right)\left(2+i\right)}=\frac{5i}{5}=i$

Se tienen que calcular entonces las cinco raíces quintas de la unidad imaginaria. Estas serán:

$\sqrt[5]{z}=\sqrt[5]{i}=\sqrt[5]{1}{e}^{i\left(\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}\right)}k=\mathrm{0,1,2,3,4}$

$\begin{array}{l}P0=\cos \left(\frac{\pi }{10}\right)+isen\left(\frac{\pi }{10}\right)\hfill \\ P1=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+isen\left(\frac{\pi }{2}\right)=i\hfill \\ P2=\cos \left(\frac{9\pi }{10}\right)+isen\left(\frac{9\pi }{10}\right)\hfill \\ P3=\cos \left(\frac{13\pi }{10}\right)+isen\left(\frac{13\pi }{10}\right)\hfill \\ P4=\cos \left(\frac{17\pi }{10}\right)+isen\left(\frac{17\pi }{10}\right)\hfill \end{array}$

En la siguiente figura están representadas las cinco raíces

Cerrar y volver