Ejercicio

Raices cúbicas de $\frac{(1 + i) \cdot {(1 - i)}^{4}}{{(1 + \sqrt{3} i)}^{3}}$

En lugar de realizar todas las operaciones en forma binómica es posible trabajar en forma exponencial. Se debe calcular las raíces cúbicas del número complejo:

$z = \frac{(1 + i) {(1 - i)}^{4}}{{(1 + \sqrt{3} i)}^{3}} = \frac{\sqrt{2} e^{i \frac{π}{4}} {(\sqrt{2} e^{- i π / 4})}^{4}}{{(2 e^{i π / 3})}^{3}} = \frac{\sqrt{2} {(\sqrt{2})}^{4}}{2^{3}} e^{i (\frac{π}{4} - 4 \frac{π}{4} - 3 \frac{π}{3})} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{i \frac{π}{4}}$

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{z} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{1 / 3} e^{i (\frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3})} = \frac{1}{\sqrt[6]{2}} e^{i (\frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3})} k = 0,1,2 \\ \begin{array}{l} P 0 = \frac{1}{\sqrt[6]{2}} (\cos (\frac{π}{12}) + i s e n (\frac{π}{12})) \\ P 1 = \frac{1}{\sqrt[6]{2}} (\cos (\frac{9 π}{12}) + i s e n (\frac{9 π}{12})) \\ P 2 = \frac{1}{\sqrt[6]{2}} (\cos (\frac{17 π}{12}) + i s e n (\frac{17 π}{12})) \end{array} \end{array}$

La representación de estas raíces es:

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