cos (nx)  y  sin (nx)  en función de  sin x  y  cos x

La fórmula de Moivre permite obtener  cos(nx)  en función del seno y del coseno de x.

Ejemplo: Obtención de cos(4x) y sin(4x) en función del seno y del coseno de x.

Por la fórmula de Moivre:

${\left[\cos x+isenx\right]}^4=\cos (4x)\mathrm{+i}sen(4x)$

Aplicando la fórmula del Binomio de Newton a la primera parte de la igualdad:

${\left(\cos x+isenx\right)}^4=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right){\cos }^{4}x+\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right){\cos }^{3}x\left(isenx\right)+$

$+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right){\cos }^{2}x{\left(isenx\right)}^2+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cos x{\left(isenx\right)}^3+\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right){\left(isenx\right)}^4=$

$={\cos }^{4}x+4i{\cos }^{3}xsenx-6{\cos }^{2}xse{n}^{2}x-4i\cos xse{n}^{3}x+se{n}^{4}x=$

$=\left({\cos }^{4}x-6{\cos }^{2}xse{n}^{2}x+se{n}^{4}x\right)+i\left(4{\cos }^{3}xsenx-4\cos xse{n}^{3}x\right)$

Igualando la parte real y la parte imaginaria de la expresión anterior con las correspondientes del segundo miembro de la igualdad obtenida en la fórmula de Moivre:

$\cos \left(4x\right)={\cos }^{4}x-6{\cos }^{2}xse{n}^{2}x+se{n}^{4}x$

$sen(4x)=4{\cos }^{3}xsenx-4\cos xse{n}^{3}x$

Ejercicio: Del mismo modo puede intentar obtener el coseno y el seno del ángulo doble en función del seno y del coseno de x.