Ejercicio

Números complejos de módulo unidad tales que sus raíces cuartas están situadas en las bisectrices de los ejes real e imaginario.

Los números complejos buscados tienen módulo 1 y su argumento debe verificar:

$\begin{array}{l} \frac{\arg u m e n t o + 2 k π}{4} = \frac{π}{4} p a r a a l g ú n k c o n v a l o r 0,1,2,3 \Rightarrow \arg u m e n t o = π \\ \frac{\arg u m e n t o + 2 k π}{4} = \frac{3 π}{4} p a r a a l g ú n k c o n v a l o r 0,1,2,3 \Rightarrow \arg u m e n t o = π \\ \frac{\arg u m e n t o + 2 k π}{4} = \frac{- 3 π}{4} p a r a a l g ú n k c o n v a l o r 0,1,2,3 \Rightarrow \arg u m e n t o = π \\ \frac{\arg u m e n t o + 2 k π}{4} = \frac{- π}{4} p a r a a l g ú n k c o n v a l o r 0,1,2,3 \Rightarrow \arg u m e n t o = π \end{array}$

Observe que también se podía haber razonado de la siguiente manera. Los números complejos buscados serán las potencias cuartas de los cuatro únicos n&úmeros que tienen módulo 1 y sus argumentos están en las bisectrices de los ejes real e imaginario, es decir, las potencias cuartas de:

$\begin{array}{l} z_{1} = e^{\frac{π}{4} i} = \cos (\frac{π}{4}) + i s e n (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_{2} = e^{(\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) i} = \cos (\frac{3 π}{4}) + i s e n (\frac{3 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_{3} = e^{- \frac{π}{4} i} = \cos (\frac{- π}{4}) + i s e n (\frac{- π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_{4} = e^{(- \frac{π}{4} - \frac{π}{2}) i} = \cos (\frac{- 3 π}{4}) + i s e n (\frac{- 3 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

es decir

\begin{array}{l} w 1 = {(z_{1})}^{4} = e^{π i} = - 1 \\ w 2 = {(z_{2})}^{4} = e^{3 π i} = - 1 \\ w 3 = {(z_{3})}^{4} = e^{- π i} = - 1 \\ w 4 = {(z_{4})}^{4} = e^{- 3 π i} = - 1 \end{array}

El único número que verifica lo que se pretende es el −1. Las diferentes representaciones del número complejo −1 son:

Forma binómica: −1
Forma trigonométrica: $\cos π + i s e n π$
Forma exponencial: $e^{π i}$

En este gráfico si modifica el módulo puede obtener el número complejo de módulo elegido cuyas raíces cuartas se encuentran en las bisectrices de los ejes real e imaginario.