Ejercicio

¿Para qué valores de a y b el polinomio   $p\left(z\right)=z^2+\left(10+ai\right)z+b+80i$   tiene una raíz compleja doble?

Para que un polinomio de grado dos tenga una raíz doble el discriminante ha de ser cero. Por lo tanto, en nuestro caso si

${\left(10+ai\right)}^2-4*1*\left(b+80i\right)=0$

el polinomio tendrá una raíz doble compleja que será:

$z=\frac{-\left(10+ai\right)}{2}$

Veamos para que valores de a y de b el discriminante es cero:

${\left(10+ai\right)}^2-4\left(b+80i\right)=0\iff 100-a^2+20ai-4b-320i=0\iff \left(100-a^2-4b\right)+i\left(20a-320\right)=0$

Un número complejo es cero si y solamente si la parte real es cero y la parte imaginaria es cero. Por lo tanto,

$\begin{array}{l}100-a^2-4b=0\\ 20a-320=0\end{array}\}\iff a=\mathrm{16,}b=-39$

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