Ejercicio

La suma de dos números complejos es   $3+i$   y la parte real de uno de ellos es 2. Determine dichos números sabiendo que su cociente es imaginario puro.

Los números que a determinar se pueden escribir en forma binómica como:   $z=a+bi,w=c+di$  . Se sabe que:

• La parte real de uno de ellos es 2; por ejemplo a = 2.

• Como la suma de los dos números complejos es 3 + i se tendrá:

  $\left(2+bi\right)+\left(c+di\right)=3+i$

  luego

  $c=\mathrm{1,}b+d=1$

• Por otro lado al ser su cociente un número imaginario puro la parte real debe ser cero:

  $\frac{2+bi}{1+di}=\frac{\left(2+bi\right)\left(1-di\right)}{1+d^2}=\frac{2-2di+bi+bd}{1+d^2}=\frac{2+bd}{1+d^2}+\frac{b-2d}{1+d^2}i$

  $\mathrm{Re}\left(\frac{2+bi}{1+di}\right)=\frac{2+bd}{1+d^2}=0\iff b=-\frac{2}{d}$

  y como b + d = 1,

  $\frac{-2}{d}+d=1\iff d^2-d-2=0\iff d=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}=\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}$

  Los números complejos son entonces

  $\begin{array}{ccc}z=2-i& w=1+2i& ó\\ z=2+\mathrm{2i}& w=1-i& \end{array}$

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