Ejemplos

Determine geométricamente el conjunto de números complejos tales que

$\left|-z+1-i\right|=\left|-z-1+i\right|$

Se trata de determinar el conjunto de números complejos de forma que la distancia al punto  1 − i  y al punto  −1 + i  es la misma. Está claro que debe ser el conjunto de puntos cuyos afijos están en la recta y = x.

Para resolver analíticamente se considera   $z=x+iy$ . Entonces

$\begin{array}{c}-z+1-i=(-x+1)+(-y-1)i\\ -z-1+i=\left(-x-1\right)+\left(-y+1\right)i\end{array}$

y su módulo

$\begin{array}{c}\left|-z+1-i\right|=\sqrt{{(-x+1)}^2+{(-y-1)}^2}\\ \left|-z-1+i\right|=\sqrt{{\left(-x-1\right)}^2+{\left(-y+1\right)}^2}\end{array}$

Los números complejos  z  tales que   $\left|-z+1-i\right|=\left|-z-1+i\right|$   tendrán que cumplir la siguiente ecuación

${(-x+1)}^2+{(-y-1)}^2={\left(-x-1\right)}^2+{\left(-y+1\right)}^2$

Desarrollando y simplificando

$x^2-2x+1+y^2+2y+1=x^2+2x+1+y^2+1-2y$

Es decir

$y=x$

Por lo tanto, son todos los números complejos cuya parte real coincide con su parte imaginaria (los que su afijo está en la recta y = x). Gráficamente

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