Suma de complejos

La suma de dos complejos es aquel complejo que tiene como parte real la suma de las partes reales de los sumandos y como parte imaginaria la suma de las partes imaginarias: $$z+w=(a+bi)+ (c+di)=a+ c +(b+ d)i$$ Geométricamente se corresponde con la suma de vectores.

Producto de complejos

Dependiendo de cómo estén los complejos expresados:

• en forma binómica: $$zw=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i$$

• en forma polar, si $z=r_{\varphi}$ y $w=r'_{\varphi'}$: $$zw=(rr')_{\varphi+\varphi'}$$

• en forma exponencial: $$zw=r r'e^{i(\varphi+\varphi')}$$

Geométricamente al multiplicar dos complejos se está realizando un giro (pues se suman los argumentos) y un escalamiento (los módulos se multiplican). Si un número complejo $w$ se multiplica por $z=re^{i\varphi}$, siendo $\varphi$ el argumento principal de $z$, la distancia del afijo de $w$ al origen disminuirá si $r<1$, quedará igual si $r=1$ y aumentará si $r>1$, mientras que girará hacia la derecha si $\varphi$ está entre 0 y $\pi$ y lo hará hacia la izquierda si $\varphi$ está entre $-\pi$ y 0.

Cociente de complejos

Para $w$ no nulo, el cociente $\frac{z}{w}$ es el producto de $z$ por el inverso de $w$,

• en forma binómica: multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador $$\frac{z}{w}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}= \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$$

• en forma polar: $$\frac{z}{w}=\left(\frac{r}{r'}\right)_{\varphi-\varphi'}$$

• en forma exponencial: $$\frac{z}{w}=\frac{r}{r'}e^{i(\varphi-\varphi')}$$

Potencias enteras

Si $n$ es un número entero, dado que elevar un número a la $n$ es multiplicarlo por sí mismo $n$ veces, se tiene que $$z=re^{i\varphi} \hspace{.2cm} \Rightarrow \hspace{.2cm} z^n=r^ne^{i n \varphi}$$ o bien $$z^n=[r(\cos \varphi+i\, \mbox{sen}\, \varphi)]^n=r^n(\cos n\varphi+i\, \mbox{sen}\, n\varphi)$$ A esta expresión se la conoce con el nombre de fórmula de Moivre.

Sabemos que en los números reales hay siempre dos números diferentes (opuestos) cuyo cuadrado es el mismo y que esto ocurre con cualquier potencia par: $8^2=(-8)^2$, $5^4=(-5)^4$, $\ldots$, pero no ocurre así si la potencia es impar $8^3\neq (-8)^3$, $5^7\neq (-5)^7$, $\ldots$, por ejemplo, no hay dos números reales diferentes cuyo cubo sea el mismo. Esto cambia en los números complejos: sea quien sea $n$, siempre hay $n$ números complejos diferentes que elevados a la $n$ dan lo mismo: $$(re^{i(\alpha+\frac{2k\pi}{n})})^n=r^ne^{i(n\alpha+2k\pi)}=r^ne^{in\alpha}\ \ \mbox{pues}\ \ e^{i2k\pi}=1\ \ \mbox{si}\ \ k\ \ \mbox{es entero}$$ Por ejemplo, $z_0=3e^{i\pi/4}$, $z_1=3e^{i11\pi/12}$ y $z_2=3e^{-i5\pi/12}$ tiene el mismo cubo, $$z_0^3=27e^{i3\pi/4}$$ $$z_1^3=27e^{i11\pi/4}=27e^{i3\pi/4}\ \ \mbox{pues}\ \ \frac{11\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+\frac{8\pi}{4}$$ $$z_2^3=27e^{-i5\pi/4}=27e^{i3\pi/4}\ \ \mbox{pues}\ \ \frac{-5\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}$$

Raíces enésimas

Los $n$ números complejos que elevados a la $n$ resultan $z$ son $$z^{1/n}=[r(\cos \varphi+i\, \mbox{sen}\, \varphi)]^{1/n}=$$$$r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\,\mbox{sen}\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\ ,\ \ k=0,\, 1,\, 2,\,\ldots, n-1$$ Son las $n$ raíces enésimas de $z$, que también podemos expresar en forma exponencial $$z^{1/n}=r^{1/n} e^{i\frac{\varphi+2k\pi}{n}} \ ,\ \ k=0,\, 1,\, 2,\,\ldots, n-1$$ Dando valores a la $k$ vamos obteniendo las $n$ raíces, $$z_0=r^{1/n} e^{i\frac{\varphi}{n}} \ ,\ \ z_1=r^{1/n} e^{i\frac{\varphi+2\pi}{n}} \ ,\ \ z_2=r^{1/n} e^{i\frac{\varphi+4\pi}{n}}\ \ldots $$