Función exponencial

Dado $z=a+bi$, se define $e^z$ como el número complejo cuyo módulo es $e^a$ y cuyo argumento es $b$, es decir $$e^z=e^{a+bi}=e^a(\cos b +i\,\mbox{sen}\, b)$$

Propiedades de la función exponencial

Utilizando la definición anterior es sencillo comprobar que

• $e^{z+w}=e^ze^w$

• $e^0=1$

• $e^ze^{-z}=1$

• $\overline{ e^z}=e^{\overline{z}}$

• $\mbox{Re}\, e^z=\mbox{Re}\, e^{a+bi}=e^a\cos b$

• $\mbox{Im}\, e^z=\mbox{Im}\, e^{a+bi}=e^a\mbox{sen}\, b$

• es periódica de periodo $2\pi i$

Funciones trigonométricas

Para obtener la expresión de la función seno y de la función coseno en el campo complejo haremos lo siguiente: en primer lugar observamos que si $a\in{\bf R}$ entonces la fórmula de Euler nos dice que $$e^{ia}=\cos a+ i \, \mbox{sen}\, a \hspace{.2cm},\hspace{.2cm} e^{-ia}=\cos a- i \, \mbox{sen}\, a$$ Sumando y restando estas dos expresiones, $$e^{ia}+ e^{-ia}=2 \cos a \hspace{.2cm},\hspace{.2cm} e^{ia}-e^{-ia}=2 i \, \mbox{sen}\, a$$ de donde podemos despejar el coseno y el seno, $$\cos a=\frac{e^{ia}+ e^{-ia}}{2}\hspace{.2cm},\hspace{.2cm} \mbox{sen}\, a=\frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2 i}$$ Estas expresiones que cumple cualquier $a$ real nos sirven para definir el coseno y el seno para un $z$ complejo, porque así, cuando en particular $z$ sea real, la funciones extendidas coincidirán con las ya definidas. Así para cualquier $z$ complejo se define $$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \hspace{.2cm},\hspace{.2cm} \mbox{sen} z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$ y a partir de éstas, $$\mbox{tg}\, z=\frac{\mbox{sen}\, z}{\cos z}$$ y el resto de funciones trigonométricas.

IMPORTANTE: Las expresiones para el coseno y el seno complejos de la suma son las mismas que conocemos para el seno y coseno reales $$\mbox{sen}(z+w)=\mbox{sen}\, z\, \cos w+ \mbox{sen}\, w\, \cos z \hspace{.2cm} , \hspace{.2cm} \cos(z+w)= \cos z\, \cos w -\mbox{sen}\, z\,\mbox{sen}\, w$$ y en consecuencia todas las relaciones trigonométricas que se deducen de éstas.