Ejercicios preliminares e instantáneos. Integral de línea (primera parte)

Recuerda que una curva es la imagen de una función de una única variable. Para movernos por ella sólo tenemos un grado de libertad.
Ver solución

1. ${\bf r}(t)=(\cos t, \mbox{sen}\, t)$, para $t\in[0,2\pi]$ es la circunferencia de centro $(0,0)$ y radio 1, por tanto es una curva cerrada. La dibujamos con

   	t=0:pi/50:2*pi;
   	plot(cos(t),sin(t))
   	axis equal
   	

2. ${\bf r}(t)=(\cos t, \mbox{sen}\, t,t)$, para $t\in[0,2\pi]$ es una espira de hélice, por tanto es una curva no cerrada. La dibujamos con

   	t=0:pi/50:2*pi;
   	plot3(cos(t),sin(t),t)
   	grid on
   	axis equal
   	

   
3. ${\bf r}(u,v)=(\cos u, \mbox{sen}\, u,v)$, para $u\in[0,2\pi]$ y $v\in[0,1]$ es una porción de superficie;
4. $x^2+y^2=1$ interseca a $x+y+z=2$ en una curva cerrada, que podríamos parametrizar con $(\cos t,\mbox{sen}\, t,2-\cos t-\mbox{sen}\, t)$, $t\in[0,2\pi]$ y dibujarla con

   t=0:pi/50:2*pi;
   plot3(cos(t),sin(t),2-cos(t)-sin(t))
   grid on
   axis equal
   		

   
5. $z=x^2+y^2$ sólo interseca a $z=0$ en el punto $(0,0,0)$;
6. la proyección de $z=1-(x^2+y^2)$ en el plano $z=0$ es un disco, no una curva;
7. la proyección de $x^2+z^2=4$ en el plano $y=0$ es la circunferencia de centro $(0,0,0)$ y radio 2, por tanto curva cerrada, que podríamos parametrizar con $(2\cos t,0,2\,\mbox{sen}\, t)$, $t\in[0,2\pi]$ y dibujarla con

   t=0:pi/50:2*pi;
   plot3(2*cos(t),zeros(size(t)),2*sin(t))
   grid on
   axis equal
   			

   

Debes comprobar que en ambos casos la primera coordenada está entre 1 y 2 y que la suma del cuadrado de la primera con la segunda vale 3.

1. $t=0$ pues ${\bf r}(0)=(0,3)$;
2. $t=\frac{\pi}{2}$ pues ${\bf r}(\frac{\pi}{2})=(\frac{\pi^2}{2},2)$;
3. $t=\frac{3\pi}{2}$ pues ${\bf r}(\frac{3\pi}{2})=(9\frac{\pi^2}{2},2)$;
4. $t=\pi$ pues ${\bf r}(\pi)=(2\pi^2,1)$

 t=0:pi/50:3*pi/2;
 plot(2*t.^2,2+cos(t))
 hold on
 t=0:pi/2:3*pi/2;
 plot(2*t.^2,2+cos(t),'o')
 hold off

1. sí, para $t=0$;
2. no;
3. no;
4. sí, para $t=\pi$;
5. sí, para $t=\pi/2$.

		t=0:pi/30:pi;
		plot(1+cos(t),sin(2*t))
		hold on
		plot([2,1,0,0,1],[0,1,1,0,0],'o')
		hold off
	 

Recuerda que la derivada de ${\bf r}(t)=(x(t),y(t))$ es ${\bf r'}(t)=(x'(t),y'(t))$.
Ver solución

1. Si ${\bf r}(t)=(\cos 2t, 1+\mbox{sen}\, t)$, $${\bf r'}(0)=(x'(0),y'(0))=(0,1)$$ y $${\bf T}(0)=(0,1)$$ es el vector tangente unitario en el punto $P(1,1)$
   

   		t=-1:.05:1;
   		plot(cos(2*t),1+sin(t))
   		hold on
   		quiver(1,1,0,1)
   		hold off
   		

2. Si ${\bf r}(t)=(t\,\mbox{sen}\, t, t^2)$, $${\bf r'}\left(\frac{\pi}{2}\right )=\left(x'\left(\frac{\pi}{2}\right),y'\left(\frac{\pi}{2}\right ) \right )=(1,\pi)$$ y $${\bf T}\left(\frac{\pi}{2} \right )=\frac{1}{\sqrt{1+\pi^2}}(1,\pi)$$ es el vector tangente unitario en $P(\frac{\pi}{2},\frac{\pi^2}{4})$
   

   t=pi/3:.1:2*pi/3;
   plot(t.*sin(t),t.^2)
   hold on
   plot(pi/2,pi^2/4,'o')
   quiver(pi/2,pi^2/4,1/sqrt(1+pi^2),pi/sqrt(1+pi^2))
   hold off
   		

3. Si ${\bf r}(t)=(\log t, 2t-1)$ $${\bf r'}(1)=(x'(1),y'(1))=(1,2)$$ y $${\bf T}(1)=\frac{\sqrt{5}}{5}(1,2)$$ es el vector tangente unitario en $P(0,1)$
   

   	t=.5:.1:1.5;
   	plot(log(t),2*t-1)
   	hold on
   	plot(0,1,'o')
   	quiver(0,1,1/sqrt(5),2/sqrt(5))
   	hold off
   		

Recuerda que dos vectores son normales si su producto escalar es nulo. De manera que tanto $(u_2,-u_1)$ como $(-u_2,u_1))$ son normales a $(u_1,u_2)$. Si este vector es de módulo 1, también $(u_2,-u_1)$ y $(-u_2,u_1)$ lo son.
Ver solución

1. ${\bf n}(0)=(1,0)$
2. ${\bf n}(\frac{\pi}{2})=\frac{1}{\sqrt{1+\pi^2}}(\pi,-1)$
3. ${\bf n}(1)=\frac{\sqrt{5}}{5}(-2,1)$

Recuerda que la derivada es el límite de un cociente, luego su dimensión será el cociente de las dimensiones de la variable que se deriva entre la variable respecto de la que se deriva; la diferencial de una variable no es más que una diferencia entre valores de esa variable; por lo tanto si, por ejemplo, la variable es una longitud, su diferencial también lo será.
Ver solución

1. $x'(t)$ e $y'(t)$ se miden en mm/sg;
2. $\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$ se mide en mm/sg;
3. $ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\, dt$ se mide en mm;
4. $\rho'(\theta)$ se mide en mm;
5. $\sqrt{\rho(\theta)^2+\rho'(\theta)^2}$ se mide en mm;
6. $ds=\sqrt{\rho(\theta)^2+\rho'(\theta)^2}\, d\theta$ se mide en mm.

Recuerda que una curva $(x(t),y(t))$ es suave en un punto $(x(t_0),y(t_0))$ si $x'(t_0)^2+y'(t_0)^2\neq 0$, de manera que está garantizada la existencia de vector tangente a la curva en ese punto.
Ver solución

1. ${\bf r}(t)=(\cos t, t^2)$ es suave en todos los puntos de $[-1,1]$ salvo en ${\bf r}(0)$, que es el punto $P(1,0)$;
2. ${\bf r}(t)=(\cos t, \mbox{sen}\, t)$ es suave en todos sus puntos;
3. ${\bf r}(t)=(\log t, t^2,t)$, $t\in [1,2]$ es suave.

Podemos dibujar las tres curvas con

  		t=-1:.1:1;
		subplot(1,3,1); plot(cos(t),t.^2);grid on
		subplot(1,3,2); plot(cos(t),sin(t));grid on
		t=1:.1:2;
		subplot(1,3,3); plot3(log(t),t.^2,t)
		box on
		grid on
  		

$f(x,y)$ es una magnitud escalar, como la densidad o la temperatura, definida en una cierta región del plano y $(x(t),y(t))$ son las coordenadas de, por ejemplo, un alambre en el plano; el resultado de componerlas es una función, escalar, de una variable.
Ver solución

1. $f(x(t),y(t))=5t^2-1$;
2. $f(x(t),y(t))=\cos^2 t+2\, \mbox{sen}\, t$;
3. $f(x(t),y(t))=t^2-2t+3$

$f(x,y,z)$ es una magnitud escalar, como la densidad o la temperatura, definida en una cierta región del espacio y $(x(t),y(t),z(t))$ son las coordenadas de, por ejemplo, un alambre situado en esa región del espacio; el resultado de componerlas es una función, escalar, de una variable.
Ver solución

1. $f(x(t),y(t),z(t))=t^3$;
2. $f(x(t),y(t),z(t))=te^t-(t+1)$;
3. $f(x(t),y(t),z(t))=-\mbox{sen}\, t \cos t$

1. $$[0,\pi]=[0,\frac{\pi}{6}]\cup [\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]\cup [\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]\cup [\frac{\pi}{2},2\frac{\pi}{3}]\cup [2\frac{\pi}{3},5\frac{\pi}{6}]\cup [5\frac{\pi}{6},\pi]$$
2. 
   
3. $|{\bf r'}(t)|=2$ e $\Delta t=\frac{\pi}{6}$, luego $\Delta s=\frac{\pi}{3}$

Los puntos son $P_1(\sqrt{3},1)$, $P_2(1,\sqrt{3})$, $P_3(0,2)$, $P_4(-1,\sqrt{3})$, $P_5(-\sqrt{3},1)$ y $P_6(-2,0)$:

La suma pedida es $-\frac{2\pi}{3}(3+\sqrt{3})$

1. $\delta (x,y,z)\, ds$ se mide en gr.;
2. $I=\int_C \delta (x,y,z)\, ds$ se mide en gr.;
3. $\frac{I}{\mbox{longitud}(C)}$ se mide en gr/cm.

1. $f(x,y)\, ds$ se mide en $\mbox{mm}^2$;
2. $\int_C f (x,y)\, ds$ se mide en $\mbox{mm}^2$