Teorema sobre campos conservativos

• Hipótesis: los elementos que intervienen en este teorema son
  • un dominio $S$ simplemente conexo (ver después definiciones) de ${\bf R}^2$ o ${\bf R}^3$
  • un campo vectorial ${\bf F}$ de clase $C^1$ en $S$
• Tesis: bajo estas hipótesis se verifica que las siguientes condiciones son equivalentes (es decir, si una de ellas es cierta, también será cierta cualquiera de las otras)
  • Es nula la integral de ${\bf F}$ a lo largo de cualquier curva cerrada suave por partes contenida en $S$;
  • La integral de ${\bf F}$ a lo largo de las curvas contenidas en $S$ es independiente de la trayectoria, sólo depende de cuáles sean los puntos inicial y final;
  • El campo ${\bf F}$ es conservativo (existe función potencial $f$ tal que $\nabla f={\bf F}$);
  • El rotacional de ${\bf F}$ es cero en todos los puntos de $S$.

• DOMINIO: Un subconjunto de ${\bf R}^2$ o ${\bf R}^3$ es dominio si es abierto (cualquier punto se puede rodear por un círculo o esfera abiertos contenidos en el conjunto) y es también conexo (cualquier par de puntos del conjunto se pueden unir por una curva toda ella contenida en el conjunto).
• SIMPLEMENTE CONEXO EN EL PLANO: Un dominio de ${\bf R}^2$ es simplemente conexo si toda curva simple cerrada encierra únicamente puntos del conjunto. Dicho de otro modo, no tiene 'agujeros'.
• SIMPLEMENTE CONEXO EN EL ESPACIO: Un dominio de ${\bf R}^3$ es simplemente conexo si toda curva simple cerrada es la frontera de una superficie suave contenida en el conjunto. Dicho de otro modo, no puede 'enhebrarse'.