Elemento diferencial de arco en paramétricas

Tomamos la curva ${\bf r}(t)=(x(t),y(t))$, con $x(t)$ e $y(t)$ derivables con derivada continua. El vector tangente en el punto ${\bf r}(t_0)$ es ${\bf r}'(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0))$, luego $$\Delta s=\sqrt{x'(t_0)^2+y'(t_0)^2}\Delta t=|{\bf r}'(t_0)|\Delta t$$ con lo cual el elemento diferencial de arco es $$ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} dt=|{\bf r}'(t)| dt$$ Si la curva está en ${\bf R}^3$, con unas ecuaciones ${\bf r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$, su diferencial de arco es $$ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2} dt=|{\bf r}'(t)| dt$$