Ejercicios preliminares e instantáneos. Transformada de Laplace.

Recuerda que una función es seccionalmente continua en $[0,\infty)$ si lo es en cada intervalo de la forma $[0,A)$, con $A>0$. Una función es seccionalmente continua en un intervalo $[a,b]$ si es continua en todos los puntos de $[a,b]$ salvo quizá en un número finitos de puntos, en los cuales deben existir límites laterales finitos.
Ver solución

$E(t)$ es seccionalmente continua en $[0,\infty)$ pues lo es en cada intervalo de la forma $[0,A)$, con $A>0$: en cada intervalo $[0,A)$, con $A>0$, la función es continua salvo en los enteros menores que $A$, donde la discontinuidad es de salto, existiendo por tanto límites laterales finitos.

1. Sí, por ejemplo $t_0=5$;



2. Sí, con $t_0=8$.

Esto se debe a que tanto $100\,t^3$ como $1000\,t^4$ son funciones de orden exponencial, con abscisa de convergencia 0.

• Si $A<0$, el límite es 0.
• Si $A=0$, el límite es 1.
• Si $A>0$, el límite es $\infty$.

Por ejemplo:



  x=0:.1:5;
  subplot(1,2,1)
  plot(x,exp(-x))
  title('f(x)=e^{-x}')
  subplot(1,2,2)
  plot(x,exp(.5*x))
title('f(x)=e^{x/2}')
  

Puesto que $\cos(t-\pi)=-\cos(t)$, se tiene que $g(t)=-f(t-\pi)$, es decir, $g(t)$ se obtiene trasladando $\pi$ unidades a la derecha $f(t)$ y haciendo después el opuesto:

Recuerda que $U(t)$ vale cero en $t$ negativo y uno en $t$ positivo.
Ver solución

$f(2)=1$, puesto que en $t=2$, $U(t-1)$ vale $U(1)=1$ y $U(t-3)$ vale $U(-2)=0$. De hecho $f(t)$ vale uno entre $t=1$ y $t=3$ y cero en el resto.

1. Sí la hay, $f(t)$ y $g(t)$ son opuestas, ya que $\mbox{sen}\, (t-\pi)=-\mbox{sen}\, t$: $$f(t)=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & t< \pi \\ \mbox{sen}\, t & \mbox{si} & t> \pi \end{array}\right. \hspace{.8cm} \mbox{y} \hspace{.8cm} g(t)=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & t< \pi \\ -\mbox{sen}\, t & \mbox{si} & t> \pi \end{array}\right.$$
2. Sí la hay, puesto que $\mbox{sen}(t-\pi/2)=-\cos t$, $$f(t)=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & t< \frac{\pi}{2} \\ \mbox{sen}\, t & \mbox{si} & t> \frac{\pi}{2} \end{array}\right. \hspace{.8cm} \mbox{y} \hspace{.8cm} g(t)=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & t< \frac{\pi}{2} \\ -\cos t & \mbox{si} & t> \frac{\pi}{2} \end{array}\right.$$

1. Verdadero, por definición de integral impropia de primera especie.
2. Verdadero
3. Falso, eso son condiciones suficientes para la existencia de la transformadas, pero no son necesarias. Por ejemplo, la función $1/\sqrt{t}$ no es seccionalmente continua en $[0,\infty)$ y sin embargo, admite transformada de Laplace.

La existencia de esa integral se relaciona con el orden exponencial de la función $f(t)$.
Ver solución

Eso no puede ocurrir; si existe para $s=0$, deberá existir también para cualquier $s>0$. A la inversa sí puede ocurrir.

Utiliza la definición de transformada de Laplace: $${\cal L}[f(t)]=\int_0^{\infty} e^{-st}f(t)\, dt$$
Ver solución

Puesto que $${\cal L}[e^{2t}]=F(s)=\frac{1}{s-2}=\int_0^{\infty} e^{-st}e^{2t}\, dt$$ tenemos $$1=F(3)=\int_0^{\infty} e^{-3t}e^{2t}\, dt=\int_0^{\infty} e^{-t}\, dt$$

Utiliza la propiedad de traslación en $s$: $$F(s)={\cal L}[f(t)] \ \mbox{para} \ s>\alpha \hspace{.8cm} \Rightarrow \hspace{.8cm} F(s-a)={\cal L}[e^{at}f(t)] \ \ \ \mbox{para} \ \ s>\alpha+a$$
Ver solución

1. $${\cal L}[e^{-t}\cos t]=\frac{s+1}{s^2+2s+2} \hspace{.4cm} \mbox{para} \ \ s>-1$$
2. $${\cal L}[e^{2t}\cos t]=\frac{s-2}{s^2-4s+5} \hspace{.4cm} \mbox{para} \ \ s>2$$
3. $${\cal L}[e^{4t}\cos t]=\frac{s-4}{s^2-8s+17} \hspace{.4cm} \mbox{para} \ \ s>4$$

Podemos comprobar estos resultados en el ordenador, escribiendo (para la del caso a))

>> syms t
>> laplace(exp(-t)*cos(t))

ans =

(s + 1)/((s + 1)^2 + 1)

y representar estas funciones con

syms t
subplot(2,2,1)
ezplot(cos(t),[0,2*pi])
subplot(2,2,2)
ezplot(exp(-t)*cos(t),[0,2*pi])
subplot(2,2,3)
ezplot(laplace(cos(t)),[0,2*pi])
subplot(2,2,4)
ezplot(laplace(exp(-t)*cos(t)),[-1,2*pi])

1. $$s^2-3s+1=\left(s-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}$$
2. $$s^2+3s+3=\left(s+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}$$
3. $$2s^2+4s-5=2(s+1)^2-7$$

s=-5:.05:5;
subplot(1,3,1)
plot(s,s.^2-3*s+1)
set(gca,'XTick',[-5,3/2,5])
set(gca,'XTickLabel',{'-5','3/2','5'})
title('F(s)=s^2-3*s+1')
subplot(1,3,2)
plot(s,s.^2+3*s+3)
set(gca,'XTick',[-5,-3/2,5])
set(gca,'XTickLabel',{'-5','-3/2','5'})
title('F(s)=s^2+3*s+3')
subplot(1,3,3)
plot(s,2*s.^2+4*s-5)
set(gca,'XTick',[-5,-1,5])
set(gca,'XTickLabel',{'-5','-1','5'})
title('F(s)=2s^2+4*s-5')

Completa cuadrados y utiliza la propiedad de traslación en $s$: $$F(s)={\cal L}[f(t)] \hspace{.4cm} \mbox{para} \ s>\alpha \hspace{.8cm} \Rightarrow \hspace{.8cm} F(s-a)={\cal L}[e^{at}f(t)] \hspace{.4cm} \mbox{para} \ s>\alpha+a$$
Ver solución

1. $${\cal L}^{-1}[F(s)]=2e^t\,\mbox{sen}\, t$$
2. b) $${\cal L}^{-1}[F(s)]=-\frac{2}{\sqrt{3}}\, e^{2t}\,\mbox{sen}\, \sqrt{3}t$$
3. c) $${\cal L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{\sqrt{2}}\, e^{-t}\,\mbox{sen}\, \frac{t}{\sqrt{2}}$$

Puedes comprobar el resultado en el ordenador; por ejemplo para la primera,

  >> syms s
>> ilaplace(2/(s^2-2*s+2))
  

  syms s
  subplot(2,2,1)
  ezplot(2/(s^2+1),[0,2*pi])
  subplot(2,2,2)
  ezplot(2/((s-1)^2+1),[0,2*pi])
  subplot(2,2,3)
  ezplot(ilaplace(2/(s^2+1)),[0,2*pi])
  subplot(2,2,4)
ezplot(ilaplace(2/((s-1)^2+1)),[1,2*pi+1])
  

Sólo $\frac{2}{s(s+1)}$ puede descomponerse en fracciones simples; las otras no, pues no son funciones racionales (un polinomio dividido entre otro).

Utiliza la propiedad de traslación en la variable $t$: si $c$ es un número real positivo, $${\cal L}[U(t-c)f(t-c)]=e^{-cs}{\cal L}[f(t)]$$
Ver solución

1. $${\cal L}[(t-1)^2U(t-1)]=\frac{2}{s^3}\, e^{-s} \ \ \mbox{para} \ \ s>0$$
2. $${\cal L}[5(t-2)^2U(t-2)]=\frac{10}{s^3}\, e^{-2s} \ \ \mbox{para} \ \ s>0$$
3. $${\cal L}[-(t-3)^2U(t-3)]=-\frac{2}{s^3}\, e^{-3s} \ \ \mbox{para} \ \ s>0$$

Puedes comprobar el resultado en el ordenador; por ejemplo para la primera,

>> syms t
>> laplace((t-1)^2*heaviside(t-1))
  

y representarlas:

syms t
subplot(2,2,1)
ezplot(t^2,[0,2*pi])
subplot(2,2,2)
ezplot((t-1)^2*heaviside(t-1),[0,2*pi])
subplot(2,2,3)
ezplot(laplace(t^2),[0,2*pi])
subplot(2,2,4)
ezplot(laplace((t-1)^2*heaviside(t-1)),[0,2*pi])
  

Utiliza la propiedad de traslación en la variable $t$: si $c$ es un número real positivo, $${\cal L}[U(t-c)f(t-c)]=e^{-cs}{\cal L}[f(t)]$$
Ver solución

1. puesto que ${\cal L}^{-1}[1/s^2]=t$ $${\cal L}^{-1}[F(s)]=(t-2)U(t-2)$$
2. puesto que ${\cal L}^{-1}[1/s^3]=t^2/2$ $${\cal L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2}(t-1)^2U(t-1)$$
3. puesto que ${\cal L}^{-1}[1/s^4]=t^3/6$ $${\cal L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{6}(t-3)^3U(t-3)$$

Para comprobar estos resultados en el ordenador podemos escribir (para el caso b)):

    >> syms s
	>> ilaplace(exp(-s)/s^3)

	ans =

(heaviside(t - 1)*(t - 1)^2)/2
    

y podemos dibujar las funciones transformadas y sus inversas:

subplot(2,2,1)
ezplot(1/s^3,[0,4])
subplot(2,2,2)
ezplot(exp(-s)/s^3,[0,4])
subplot(2,2,3)
ezplot(ilaplace(1/s^3),[0,4])
subplot(2,2,4)
ezplot(ilaplace(exp(-s)/s^3),[0,4])
  

1. No lo es;
2. No lo es, pues no es correcta la variable de integración;
3. Ésta sí es la convolución de $f(t)$ con $g(t)$
4. No lo es, es incorrecto el intervalo de integración;
5. Ésta sí es la convolución de $f(t)$ con $g(t)$, en base a la propiedad de la transformada de Laplace de la convolución: la transformada de la convolución es el producto de las transformadas.

Debido a la linealidad,

1. $${\cal L}^{-1}[s^3+2s^2-s+5]=\delta'''(t)+2\delta''(t)-\delta'(t)+5\delta(t)$$
2. $${\cal L}^{-1}[s^4-3]=\delta^{(4}(t)-3\delta(t)$$
3. $${\cal L}^{-1}[s^3-3s]=\delta'''(t)-3\delta'(t)$$

Recuerda que $\frac{d}{dt}U(t)=\delta(t)$ y observa que $U(a-t)=1-U(t-a)$
Ver solución

1. $$\frac{d}{dt}U(t-1)=\delta(t-1)$$
2. $$\frac{d}{dt}U(2-t)=-\delta(t-2)$$
3. $$\frac{d^2}{dt^2}U(t-3)=\delta'(t-3)$$

Utiliza que si $f(t)$ es continua en $t=t_0$, $$\delta(t-t_0)f(t)=f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0)$$
Ver solución

1. $t\,\delta(t-3)=3\delta(t-3)$ ya que $f(t)=t$ es continua en $t=3$
2. $(t^2-1)\,\delta(t)=-\delta(t)$ ya que $f(t)=t^2-1$ es continua en $t=0$
3. $\delta(t)\,\cos t=\delta(t)$ ya que $f(t)=\cos t$ es continua en $t=0$
4. $\delta(t-\pi)\,\cos t=-\delta(t-\pi)$ ya que $f(t)=\cos t$ es continua en $t=\pi$

Recuerda que $$\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$$
Ver solución

1. $\delta(2t)=\delta(t)/2$
2. $\delta(-4t)=\delta(t)/4$
3. $\delta(t/10)=10\delta(t)$

La función de transferencia de la ecuación diferencial $ay''+by'+cy=g(t)$ es la función $$H(s)=\frac{1}{as^2+bs+c}$$
Ver solución

1. $$H(s)=\frac{1}{s^2+2s-1}$$
2. $$H(s)=\frac{1}{s^2+2s}$$
3. $$H(s)=\frac{1}{s^2-3}$$