En lo que sigue, supondremos que las funciones a las que se aplica la transformada de Laplace son efectivamente funciones en las condiciones del teorema de existencia anterior. En los siguientes enunciados, $\alpha$ indica siempre la abscisa de convergencia de $f(t)$.

P1. Linealidad: Si $c_1$ y $c_2$ son números reales cualesquiera, $${\cal L} [c_1f_1(t)+c_2f_2(t)]=c_1{\cal L} [f_1(t)]+c_2{\cal L} [f_2(t)]$$

P2. Acotación: Por cumplir $f(t)$ las condiciones del teorema de existencia, si $F(s)={\cal L} [f(t)]$ $$\lim_{s\rightarrow \infty} F(s)=0$$ Además, se cumple que $sF(s)$ está acotada cuando $s\rightarrow \infty$.

P3. Traslación en la variable $t$: Si $c$ es un número real positivo, $${\cal L} [U(t-c)f(t-c)]=e^{-cs}{\cal L} [f(t)]$$

Nótese que al hacer $U(t-c)f(t-c)$ se está trasladando $f(t)$ hacia la derecha y se está anulando a la izquierda de $t=c$.

P4. Traslación en la variable $s$: Si $a$ es un número real cualquiera y $F(s)={\cal L} [f(t)]$, $${\cal L} [e^{at}f(t)](s)=F(s-a)\ \ ,\ \ s> a+\alpha$$

P5. Transformada de la derivada: Si $f$ y $f'$ son continuas en $t\geq 0$, $${\cal L} [f'(t)]=s{\cal L} [f(t)]-f(0)\ \ ,\ \ s> \alpha$$

Si $f$ no es continua en $t=0$, pero existe $f(0^+)=\lim_{t\rightarrow 0^+} f(t)$,

$${\cal L} [f'(t)]=s{\cal L} [f(t)]-f(0^+)\ \ ,\ \ s> \alpha$$

Si esta propiedad se aplica a $f'(t)$,

$${\cal L} [f''(t)]=s^2{\cal L} [f(t)]-sf(0)-f'(0)\ \ ,\ \ s> \alpha$$

Este proceso puede repetirse para encontrar la transformada de la derivada n-ésima de $f$ en función de ${\cal L} [f(t)]$, siempre que las derivadas anteriores cumplan las condiciones suficientes.

P6. Convolución: $${\cal L} [f*g]={\cal L} [f]{\cal L} [g]$$ donde $f*g$ es el producto de convolución de $f$ y $g$ (o simplemente convolución de $f$ y $g$), que es la función que se define por $$ f*g(t)=\int_0^t f(x)g(t-x)\, dx\ \ ,\ \ t\geq 0$$

si $f(t)$ y $g(t)$ están definidas sólo en $t\geq 0$

Este producto de convolución es una operación asociativa, conmutativa y distributiva respecto de la suma de funciones. La definición de convolución anterior es la apropiada para $f(t)$ y $g(t)$ definidas sólo en $t\geq 0$. En general, la convolución de funciones se define por $$f*g(t)=\int_{-\infty}^\infty f(x)g(t-x)\, dx$$

P7. Derivada de la transformada: Para cualquier número natural $n$, $${\cal L} [t^nf(t)]=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}{\cal L} [f(t)]$$

P8. Transformada de la integral: $${\cal L} \left[\int_0^tf(u)\, du \right]=\frac{1}{s}{\cal L} [f](s)$$

P9. Integral de la transformada: Si existe $\lim_{t\rightarrow 0^+} f(t)/t$ y $F(s)={\cal L} [f(t)]$, $${\cal L} \left[\frac{f(t)}{t} \right]=\int_s^\infty F(z)\, dz$$