Funciones generalizadas

Definición(Función Delta de Dirac o impulso unitario).- Se define la función Delta de Dirac y se denota por $\delta(t)$ como la que tiene las propiedades $$\delta(t)=0 \ \ \mbox{si}\ \ t\neq 0 $$ $$\int_{-\infty}^\infty \delta(t)\, dt=1$$ Ninguna función ordinaria puede satisfacer estas propiedades; por eso llamaremos funciones generalizadas a la delta y a todas las funciones que de alguna forma derivan de ella.

Podemos pensar en un impulso unidad como un impulso rectangular de magnitud muy grande respecto del dominio donde se produce, de modo que el área bajo el impulso sea la unidad; así, $\delta(t)$ será el límite de una sucesión de impulsos rectangulares de magnitud creciente y duración decreciente, todos de área unidad:

$$\delta(t)=\lim_{a\rightarrow 0}f(t;a)\ \ \ \mbox{donde}\ \ \ f(t;a)=\left\{\begin{array}{lll}1/(2a) & \mbox{si} & |t|< a \\ 0 & \mbox{si} & |t|> a \end{array}\right.$$

De la misma manera un impulso unitario en un punto arbitrario $t=t_0$ se define como $\delta(t-t_0)$: $$\delta(t-t_0)=0 \ \ \mbox{si}\ \ t\neq t_0 $$ $$\int_{-\infty}^\infty \delta(t-t_0)\, dt=1$$

Propiedades de las funciones generalizadas

• Propiedad de filtro: $$\int_{-\infty}^\infty \delta(t-t_0)f(t)\, dt=f(t_0)$$ siendo $f(t)$ cualquier función continua;

• La delta como derivada: $$\delta(t-t_0)=U'(t-t_0)$$

• Álgebra entre generalizadas: Éstas funciones pueden sumarse, restarse y multiplicarse por constantes.

• Operaciones de generalizadas con ordinarias: Si $f(t)$ es continua en $t=t_0$, $$\delta(t-t_0)f(t)=f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0)$$

• Filtro con derivada n-ésima: Si $a<t_0<b$ y $f^{(n)}(t)$ es continua en $t=t_0$, $$\int_a^b \delta^{(n)}(t-t_0)f(t)\, dt=(-1)^n f^{(n)}(t_0)$$

• Convolución entre geneneralizadas: $$\delta^{(n_1)}(t-t_1)*\delta^{(n_2)}(t-t_2)=\delta^{(n_1+n_2)}(t-t_1-t_2)$$

• Convolución de geneneralizadas con ordinarias: $$\delta^{(n)}(t-t_0)*f=f*\delta^{(n)}(t-t_0)=f^{(n)}(t-t_0)$$ en particular, $$\delta(t)*f(t)=f(t)$$

• Escala: Si $a\neq 0$ $$\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$$

Transformadas de las funciones generalizadas

La expresión de la delta como límite de funciones ordinarias no sólo nos ayuda a darle un sentido a esta función, sino que además es la base para encontrar la transformada de Laplace de $\delta(t)$:

$${\cal L} [\delta(t)]= 1$$

Nótese que en este caso ya no se verifica la propiedad P2 tal como se enunció para transformadas de funciones ordinarias. Sin embargo, la mayor parte de las propiedades de la transformada de Laplace se mantienen para las transformadas de las funciones generalizadas; por ejemplo, se puede comprobar que

$${\cal L} [\delta(t-t_0)]= e^{-t_0s}\ \ ,\ \ {\cal L} [\delta'(t-t_0)]=se^{-t_0s}\ \ ,\ \ {\cal L} [\delta''(t-t_0)]=s^2e^{-t_0s}$$

Contando con funciones generalizadas y sus transformadas podremos encontrar transformadas inversas de polinomios y de polinomios multiplicados por un factor $e^{-cs}$ ($c< 0$).