Definiciones previas

Definición(Función seccionalmente continua).- Una función $f(t)$ es seccionalmente continua en el intervalo $[a,b]$ si es continua en todos los puntos de $[a,b]$ salvo quizá en un número finito de puntos, en los cuales deben existir límites laterales finitos. Una función $f(t)$ es seccionalmente continua en el intervalo $[0,\infty)$ si lo es en cada intervalo de la forma $[0,A)$, con $A>0$.

Definición(Función de orden exponencial).- Una función $f(t)$ se dice de orden exponencial $\alpha$ para $t\rightarrow \infty$ si existen $M$ y $t_0$ tales que $$|f(t)|\leq Me^{\alpha t}\ \ \ \forall t\geq t_0$$

Si una función es de orden exponencial $\alpha$, con otro $\alpha_1>\alpha$ también se verificará la condición. El conjunto de todos los valores $\alpha$ que la verifican es acotado inferiormente.

Definición(Abscisa de convergencia).- Se denomina abscisa de convergencia de $f(t)$ al ínfimo (mayor de las cotas inferiores) de todos los valores $\alpha$ que verifican que $$|f(t)|\leq Me^{\alpha t}\ \ \ \forall t\geq t_0$$ para algún $M$ y $t_0$.

Como funciones de orden exponencial para $t\rightarrow \infty$ encontramos las más habituales, como los polinomios, las funciones racionales, los polinomios trigonométricos, las funciones exponenciales y las logarítmicas.

El orden exponencial garantiza convergencia de la integral $\int_0^\infty e^{-st}f(t)\, dt$: podemos acotar el valor absoluto del integrando

$$|f(t)e^{-st}|\leq Me^{\alpha t}e^{-st}=Me^{(\alpha-s)t}$$

y

$$M\int_0^\infty e^{(\alpha-s)t}\, dt=\frac{M}{\alpha-s}(\lim_{A\rightarrow \infty}e^{(\alpha-s)A}-1)$$

converge si $s>\alpha$, lo que significa que la integral $\int_0^\infty e^{-st}f(t)\, dt$ converge para $s>\alpha$.

Definición(Función escalón unitario o función de Heaviside).- Se denomina así a la función definida por $$U(t)=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & t<0 \\ 1 & \mbox{si} & t>0 \end{array}\right.$$

Muchos autores la denotan también como $H(t)$. Esta función nos servirá para escribir con una única expresión cualquier función seccionalmente continua, de la que conozcamos su expresión en cada parte del dominio: utilizaremos tantas funciones $U(t-a)$ como saltos tenga la función.

Transformada de Laplace y transformada de Laplace inversa

Definición(Transformada de Laplace).- Sea $f(t)$ una función definida en $t\geq 0$. Si la integral $$\int_0^\infty e^{-st}f(t)\, dt$$ existe para algunos valores de $s$, se dice que es la transformada de Laplace de $f(t)$.

La integral anterior es una integral impropia, diferente para cada $s$, y como tal impropia puede no existir o no ser finita; se puede demostrar que si existe y es finita para cierto $s=s_0$, va a serlo también para cualquier $s\geq s_0$. Esto quiere decir que la transformada de la función $f(t)$ existe a partir de un cierto $s$ en adelante.

TEOREMA (Condiciones suficientes de existencia de la transformada): Si la función $f(t)$ es seccionalmente continua en $[0,\infty)$ y de orden exponencial para $t\rightarrow \infty$, está garantizada la existencia de la transformada de Laplace de $f(t)$; el dominio de esta nueva función es $s>\alpha$ siendo $\alpha$ la abscisa de convergencia de $f(t)$.

$$f(t) \ \ (t>0) $$	$$F(s)={\cal L}[f]$$
$$1$$	$$\frac{1}{s}\ \ ,\ \ \ s>0$$
$$e^{at}$$	$$\frac{1}{s-a}\ \ ,\ \ \ s>a$$
$$t^n\ \ ,\ \ \ n \ \mbox{natural}$$	$$\frac{n!}{s^{n+1}}\ \ ,\ \ \ s>0$$
$$\mbox{sen}\, at$$	$$\frac{a}{s^2+a^2}\ \ ,\ \ \ s>0$$
$$\cos at$$	$$\frac{s}{s^2+a^2}\ \ ,\ \ \ s>0$$
$$\sqrt{t}$$	$$\frac{\sqrt{\pi}}{2}s^{-3/2}\ \ ,\ \ \ s>0$$
$$\frac{1}{\sqrt{t}}$$	$$\sqrt{\pi}s^{-1/2}\ \ ,\ \ \ s>0$$

Definición(Tansformada inversa de Laplace).- Una transformada inversa de Laplace de una función $F(s)$, es una función $f(t)$ que verifique que $${\cal L} [f(t)]=F(s)$$ y se denota por $${\cal L}^{-1}[F(s)]=f(t)$$

Dos funciones $f(t)$ y $g(t)$ continuas diferentes no pueden tener la misma transformada, es decir, si $f(t)$ es una función continua, su transformada de Laplace la determina de forma única. En consecuencia, si $F(s)$ es la transformada de una $f(t)$ continua puede hablarse de la transformada inversa de $F(s)$. Este resultado se generaliza a funciones seccionalmente continuas si se asigna en cada discontinuidad el valor promedio del salto.

Para encontrar transformadas inversas recurriremos a la tabla de transformadas elementales y a las propiedades de la transformada.