La transformada de Laplace se aplica a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias cuando son lineales, de coeficientes constantes, van acompañadas de condiciones iniciales y el dominio de la función incógnita es el eje positivo. El método puede esquematizarse en los siguientes pasos:

1. aplicar la transformada a ambos lados de la ecuación y utilizar la propiedad P1 sobre linealidad,

2. utilizar la propiedad P5 sobre transformada de la derivada, lo que genera una ecuación algebraica con la función transformada como incógnita,

3. despejar esa función transformada,

4. buscar su inversa.

Este método se aplica igualmente a sistemas de ecuaciones lineales de coeficientes constantes con datos iniciales; en este caso la aplicación de la transformada genera un sistema algebraico lineal de la misma dimensión que el sistema diferencial inicial. También es aplicable en algunos casos especiales de coeficientes variables, pero entonces la ecuación transformada no es algebraica, sino nuevamente diferencial.

Ecuaciones lineales de segundo orden

Para detallar un poco más el proceso anterior consideramos ahora el problema $$ay''+by'+cy=g(t) \ \ ,\ \ y(0)=y_0 \ \ ,\ \ y'(0)=y_1$$ y efectuamos los pasos anteriores:

1. aplicar la transformada a ambos lados de la ecuación y utilizar la propiedad P1 sobre linealidad; llamamos $Y(s)={\cal L} [y(t)]$ y $G(s)={\cal L} [g(t)]$: $$a{\cal L} [y''(t)]+b{\cal L} [y'(t)]+c Y(s)=G(s)$$

2. utilizar la propiedad P5 sobre transformada de la derivada, lo que genera una ecuación algebraica con la función transformada como incógnita: $$(as^2+bs+c)Y(s)-(as+b)y_0-ay_1=G(s)$$

3. despejar esa función transformada: $$Y(s)=[(as+b)y_0+ay_1+G(s)]H(s)\ \ \ ,\ \ \ \mbox{siendo} \ \ H(s)=\frac{1}{as^2+bs+c}$$

4. buscar su inversa.

La función $H(s)$ se conoce como función de transferencia y sólo depende de los coeficientes de la ecuación y no del término $g(t)$. La función ${\cal L} ^{-1}[H(s)]$ se denomina respuesta al impulso, ya que es la solución del problema $$ay''+by'+cy=\delta(t) \ \ ,\ \ y(0)=0 \ \ ,\ \ y'(0)=0$$

Sistemas de ecuaciones lineales

La aplicación de las transformadas de Laplace en la búsqueda de las soluciones de un sistema diferencial acompañado de datos iniciales sigue la mecánica presentada antes: los pasos 1 y 2 se aplicarán a cada ecuación del sistema; el paso 3 consistirá en resolver un sistema algebraico lineal cuyas incógnitas son las funciones transformadas de las incógnitas originales y en el paso 4 habrá que buscar las inversas de esas transformadas.

Aplicación de la transformada de Laplace a problemas de contorno

Como hemos visto, la transformada de Laplace se aplica a la resolución de problemas de valor inicial cuya e.d.o. es lineal con coeficientes constantes, pues transforma una ecuación de este tipo en una algebraica lineal de la cual se despeja la transformada de la variable dependiente de la e.d.o. inicial. Cuando se trata de resolver un problema de contorno cuya e.d.p. es lineal de coeficientes constantes de dos variables, la aplicación de la transformada transforma la e.d.p. en una e.d.o. cuya variable dependiente es la transformada de la incógnita de la e.d.p. inicial. Una de las ventajas de este método es que es aplicable a ecuaciones no homogéneas. Las características que permiten o aconsejan su uso son

• la e.d.p. sea lineal (condición necesaria);

• la ecuación tenga coeficientes constantes;

• una al menos de las variables independientes tenga dominio infinito;

• el problema presente una condición inicial en esa variable;

• las operaciones de derivar respecto a una variable independiente y tomar transformada de Laplace respecto de la otra sean intercambiables, lo cual es cierto en determinadas condiciones de regularidad.

El procedimiento general de aplicación de la transformada de Laplace a la resolución de problemas de contorno puede esquematizarse en los siguientes pasos:

1. transformar la e.d.p. dada mediante Laplace, respecto a una variable independiente de dominio semi-infinito (sea por ejemplo $t\in[0,\infty)$);

2. resolución de la e.d.o. resultante; la variable independiente de esta e.d.o. es la otra variable (sea por ejemplo la $x$) de la e.d.p.\ inicial y la incógnita es la función transformada; en los coeficientes de su solución intervendrá la variable $s$ como parámetro;

3. aplicar transformadas de Laplace a las condiciones de frontera en la variable $x$;

4. utilizar esas nuevas condiciones para determinar los coeficientes de la solución general de la e.d.o. anterior;

5. invertir la transformada de Laplace.