Diferencial de una función de dos variables
Sea $z=f(x,y)$ una función definida y acotada en un dominio $D$ al cual pertenece el punto $(a,b)$ y que tiene derivadas parciales en ese punto. Se dice que $f$ es diferenciable en $(a,b)$ si el incremento total
$$\Delta z=f(a+\Delta x, b+\Delta y)-f(a,b)$$
correspondiente a los incrementos arbitrarios de $\Delta x$ y $\Delta y$ se puede expresar como
$$\Delta z=f'_x(a,b) \Delta x+f'_y(a,b) \Delta y+\epsilon(\Delta x,\Delta y)\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$ cumpliendo que
$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)} \epsilon(\Delta x,\Delta y)=0$$
A la parte lineal en $\Delta x$ y $\Delta y$ se le llama diferencial de $z=f(x,y)$ en el punto $(a,b)$ y se denota
$$dz=f'_x(a,b) \Delta x+f'_y(a,b) \Delta y$$
Importante:
- Si $z=f(x,y)$ es diferenciable, el incremento $\Delta z$ se puede aproximar mediante el valor de la diferencial $dz$:
$$\Delta z=f(a+\Delta x, b+\Delta y)-f(a,b)\approx f'_x(a,b) \Delta x+f'_y(a,b) \Delta y=dz$$
- La diferencial $dz$ es la variación de la ordenada del plano tangente al pasar del punto $(a,b)$ al punto $(a+\Delta x,b+\Delta y)$.