Algunas interpretaciones de la integral doble

• VOLUMEN: Si $f(x,y)$ es positiva sobre $D$ en el plano $XY$, el volumen del sólido $H$ limitado inferiormente por $D$ y superiormente por la gráfica de $z=f(x,y)$ es la integral $$\mbox{Volumen}(H)=\int\!\!\int_D f(x,y)\, dA$$ El volumen del sólido $H$ limitado inferiormente por la gráfica de $z=f(x,y)$ y superiormente por la de $z=g(x,y)$, para $(x,y)\in D\subset {\bf R}^2$, es la integral $$\mbox{Volumen}(H)=\int\!\!\int_D [g(x,y)-f(x,y)]\, dA$$
• ÁREA: Si $D\subset {\bf R}^2$, el área de $D$ es $$\mbox{Área}(D)=\int\!\!\int_D dA$$
• MASA: Si una lámina $L$ ocupa la región $D$ del plano y está compuesta por un material de densidad superficial $\delta(x,y)$, su masa es $$\mbox{Masa}(L)=\int\!\!\int_D \delta(x,y)\, dA$$
• DENSIDAD MEDIA: Para la lámina anteriormente descrita, la densidad de masa media es $$\mbox{Densidad media}(L)=\frac{\int\!\!\int_D \delta(x,y)\, dA}{\mbox{Área}(D)}$$
• TEMPERATURA MEDIA: Si una lámina $L$ ocupa la región $D$ del plano y la temperatura en cada punto viene dada por $T(x,y)$, la temperatura media de la lámina es $$\mbox{Temperatura}(L)=\frac{\int\!\!\int_D T(x,y)\, dA}{\mbox{Área}(D)}$$