Método de variación de constantes

El método de variación de constantes permite calcular una solución particular de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea (ecuación completa).
Se parte de la solución general de la homogénea asociada; si $y_1(x)$ e $y_2(x)$ son dos soluciones no proporcionales de la ecuación homogénea asociada, la solución general de la homogénea es $$y_h(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$$

1. Se sustituyen las constantes $C_1$ y $C_2$ por funciones; la solución particular de la ecuación completa que buscamos es de la forma $$y_p(x)=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)$$
2. Con el fin de simplificar los cálculos y que no aparezcan derivadas de segundo orden en $C_1$ y $C_2$, se añade la condición de que $$C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x)=0$$
3. Se deriva dos veces $y_p(x)$ y se sustituye en la ecuación diferencial, obteniendo una ecuación que liga $C'_1(x)$ y $C'_2(x)$ con $y'_1(x)$ y $y'_2(x)$; esta ecuación junto a la condición añadida forma un sistema en las dos incógnitas $C'_1(x)$ y $C'_2(x)$
4. Se resuelve ese sistema, encontrado las expresiones de $C'_1(x)$ y $C'_2(x)$
5. Se integran esas expresiones para hallar $C_1(x)$ y $C_2(x)$ y así determinar $y_p(x)$

Este método es más general que el de coeficientes indeterminados pues no restringe el tipo de función del término independiente. Además se puede aplicar al caso en que los coeficientes de la ecuación diferencial no sean constantes, siempre que se conozca un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada.